Determine as seguintes integrais

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral sin^2(t),cos^5(t),dt
O conteúdo é integração de potências de funções trigonométricas. Vamos usar a identidade cos^2(t)=1-sin^2(t) e a substituição u=sin(t).

Passo 2

Escrevemos
cos^5(t)=cos^4(t),cos(t) e cos^4(t)=(cos^2(t))^2=(1-sin^2(t))^2
Isso nos permite isolar cos(t),dt para usar a substituição u=sin(t), pois du=cos(t),dt.

Passo 3

Com u=sin(t) temos
sin^2(t)=u^2,
cos(t),dt=du
e
cos^4(t)=(1-u^2)^2.
Logo a integral fica
integral sin^2(t)cos^5(t),dt =integral u^2,(1-u^2)^2,du

Passo 4

Expandimos o integrando:
(1-u^2)^2 = 1 - 2u^2 + u^4 Longrightarrow u^2(1-u^2)^2 = u^2 - 2u^4 + u^6
Assim
integral u^2,(1-u^2)^2,du = integral (u^2 - 2u^4 + u^6),du

Passo 5

Integramos termo a termo:
integral u^2,du = u^33, integral -2u^4,du = -2u^55, integral u^6,du = u^77
Portanto a primitiva em u é
u^33 - 2u^55 + u^77 + C

Passo 6

Voltando à variável original t com u=sin(t), a antiderivada é
sin^3(t)3 - 2sin^5(t)5 + sin^7(t)7 + C

Resposta

integral sin^2(t),cos^5(t),dt =sin^3(t)3 - 2sin^5(t)5 + sin^7(t)7 + C

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