Determine as seguintes integrais

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
integral cos^5(x),dx
Este é o caso de potência ímpar de cosseno. Vamos extrair um fator cos(x) para usar substituição trigonométrica e transformar o restante em função de sin(x).

Passo 2

Escrevemos
cos^5(x) = cos^4(x),cos(x) = l(1-sin^2(x)r)^2,cos(x)
Agora fazemos a substituição
u = sin(x), du = cos(x),dx

Passo 3

Com essa mudança a integral vira
integral (1-u^2)^2,du
Expandindo o quadrado:
(1-u^2)^2 = 1 - 2u^2 + u^4,
então
integral (1-u^2)^2,du = integral l(1 - 2u^2 + u^4r),du = integral 1,du ;-;2integral u^2,du;+;integral u^4,du

Passo 4

Calculando cada termo:
integral 1,du = u, integral u^2,du = u^33, integral u^4,du = u^55
Logo a primitiva em u é
u ;-;2cdotu^33;+;u^55 ;+;C

Passo 5

Voltando à variável x com u=sin(x), obtemos
sin(x) ;-;2,sin^3(x)3 ;+;sin^5(x)5 ;+;C

Resposta

integral cos^5(x),dx = sin(x) - 2,sin^3(x)3 + sin^5(x)5 + C

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