Determine as seguintes integrais

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral sin^2(x),cos^4(x),dx
O conteúdo é integração de potências de seno e cosseno, e vamos usar a identidade de redução de potência
sin^2(x)=1-cos^2(x)

Passo 2

Usando sin^2(x)=1-cos^2(x), escrevemos
sin^2(x),cos^4(x) =l(1-cos^2(x)r)cos^4(x) =cos^4(x)-cos^6(x)
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integral sin^2(x),cos^4(x),dx =integral cos^4(x),dx -integral cos^6(x),dx

Passo 3

Para integral cos^4(x),dx usamos a fórmula de redução
cos^4(x) =l(cos^2(x)r)^2 =l(1+cos(2x)2r)^2 =3+4cos(2x)+cos(4x)8
Então
integral cos^4(x),dx =integral 3+4cos(2x)+cos(4x)8,dx =38x +48cdotsin(2x)2 +18cdotsin(4x)4 +C
=38x +14sin(2x) +132sin(4x) +C

Passo 4

Para integral cos^6(x),dx usamos a identidade padrão
cos^6(x) =10+15cos(2x)+6cos(4x)+cos(6x)32
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integral cos^6(x),dx =integral 10+15cos(2x)+6cos(4x)+cos(6x)32,dx
=1032x +1532cdotsin(2x)2 +632cdotsin(4x)4 +132cdotsin(6x)6 +C
=516x +1564sin(2x) +364sin(4x) +1192sin(6x) +C

Passo 5

Subtraindo os resultados de

Passo 6

integral sin^2(x)cos^4(x),dx =l(tfrac38-tfrac516r)x +l(tfrac14-tfrac1564r)sin(2x)
+l(tfrac132-tfrac364r)sin(4x) -tfrac1192sin(6x) +C
=116x +164sin(2x) -164sin(4x) -1192sin(6x) +C

Resposta

boxed integral sin^2(x)cos^4(x),dx =116x +164sin(2x) -164sin(4x) -1192sin(6x) +C

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