Determine os pontos máximos e mínimos (local). Determine também os pontos de inflexão. Identifique esses pontos no plano e a partir disso, faça o gráfico da função.
f(x) = -x^3 + 3x^2 - 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os pontos máximos e mínimos locais, além dos pontos de inflexão da função . Isso tudo faz parte do conteúdo de Cálculo Diferencial, onde usamos derivadas para analisar o comportamento das funções.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada primeira da função, que nos ajuda a identificar os pontos críticos onde a função pode ter máximos ou mínimos locais. A derivada de é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo :
Isso nos dá duas soluções: e .

Passo 4

Para saber se esses pontos críticos são máximos ou mínimos, usamos a derivada segunda. Vamos calcular :

Passo 5

Agora, avaliamos nos pontos críticos:
  • Para :
Como , isso indica que é um ponto de mínimo local.
  • Para :
Como , isso indica que é um ponto de máximo local.

Passo 6

Agora, vamos encontrar os pontos de inflexão, que são onde a concavidade da função muda. Para isso, resolvemos :
Então, é um ponto de inflexão.

Passo 7

Para encontrar a ordenada do ponto de inflexão, substituímos na função original:
Então, o ponto de inflexão é .

Passo 8

Vamos resumir os pontos que encontramos:
  • Ponto de Mínimo Local:
  • Ponto de Máximo Local:
  • Ponto de Inflexão:

Passo 9

Com esses pontos identificados, podemos esboçar o gráfico da função:
  1. Começamos no ponto de mínimo .
  2. A função sobe até o ponto de máximo .
  3. Passa pelo ponto de inflexão , onde a concavidade muda.
  4. Como o coeficiente de é negativo, o gráfico vai para quando vai para e para quando vai para .

Resposta

  • Ponto de Mínimo Local:
  • Ponto de Máximo Local:
  • Ponto de Inflexão:
Esses pontos nos ajudam a esboçar o gráfico da função .

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