Determine os pontos máximos e mínimos (local). Determine também os pontos de inflexão. Identifique esses pontos no plano e a partir disso, faça o gráfico da função.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os pontos máximos e mínimos locais, além dos pontos de inflexão da função
. Isso tudo faz parte do conteúdo de Cálculo Diferencial, onde usamos derivadas para analisar o comportamento das funções.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada primeira da função, que nos ajuda a identificar os pontos críticos onde a função pode ter máximos ou mínimos locais. A derivada de
é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo
:
Isso nos dá duas soluções:
e
.
Passo 4
Para saber se esses pontos críticos são máximos ou mínimos, usamos a derivada segunda. Vamos calcular
:
Passo 5
Agora, avaliamos
nos pontos críticos:
- Para
:
Como
, isso indica que
é um ponto de mínimo local.
- Para
:
Como
, isso indica que
é um ponto de máximo local.
Passo 6
Agora, vamos encontrar os pontos de inflexão, que são onde a concavidade da função muda. Para isso, resolvemos
:
Então,
é um ponto de inflexão.
Passo 7
Para encontrar a ordenada do ponto de inflexão, substituímos
na função original:
Então, o ponto de inflexão é
.
Passo 8
Vamos resumir os pontos que encontramos:
- Ponto de Mínimo Local:
- Ponto de Máximo Local:
- Ponto de Inflexão:
Passo 9
Com esses pontos identificados, podemos esboçar o gráfico da função:
- Começamos no ponto de mínimo
. - A função sobe até o ponto de máximo
. - Passa pelo ponto de inflexão
, onde a concavidade muda. - Como o coeficiente de
é negativo, o gráfico vai para quando vai para e para quando vai para .
Resposta
- Ponto de Mínimo Local:
- Ponto de Máximo Local:
- Ponto de Inflexão:
Esses pontos nos ajudam a esboçar o gráfico da função
.