Determine os pontos críticos da função dada e classifique-os.
f(x)=x^33-5 x^22+6 x+1

Passo 1

O enunciado pede para determinar os pontos críticos da função f(x)=tfracx^33-tfrac5x^22+6x+1. Esse conteúdo envolve derivada primeira para achar os pontos críticos e derivada segunda para classificá-los.

Passo 2

Vamos calcular a derivada primeira de f. Derivando termo a termo, temos:
f'(x)=x^2-5x+6

Passo 3

Para encontrar os pontos críticos, resolvemos f'(x)=0. Assim:
x^2-5x+6=0
As raízes dessa equação são x=2 e x=3, portanto são os nossos candidatos a pontos críticos.

Passo 4

Agora vamos usar a segunda derivada para classificar cada ponto. Derivando f'(x), obtemos:
f''(x)=2x-5

Passo 5

Em x=2:
f''(2)=2cdot2-5=-1<0
Isso indica concavidade para baixo, logo x=2 é um ponto de máximo local.

Passo 6

Em x=3:
f''(3)=2cdot3-5=1>0
Isso indica concavidade para cima, logo x=3 é um ponto de mínimo local.

Passo 7

Para escrever as coordenadas completas, calculamos as ordenadas:
f(2)=2^33-5cdot2^22+6cdot2+1=83-10+12+1=173
f(3)=3^33-5cdot3^22+6cdot3+1=9-452+18+1=28-452=112

Resposta

(2, 17/3) é um ponto de máximo local e (3, 11/2) é um ponto de mínimo local.

Exercícios relacionados