Determine se a série é convergente ou divergente, utilizando os testes de convergência de séries numéricas.
sumn=1^infty 1n(n+2).

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série
sumn=1^infty1n(n+2)
O conteúdo principal é reconhecer que essa soma pode ser tratada por decomposição em frações parciais e telescopamento.

Passo 2

Vamos escrever o termo geral em frações parciais. Procuramos constantes
Multiplicando ambos os lados por , obtemos
Igualando coeficientes em e termo constante vem
logo .

Passo 3

Substituindo em cada termo da série,
1n(n+2) = 12l(1n - 1n+2r)
Portanto
sumn=1^infty1n(n+2) = 12 sumn=1^inftyl(1n - 1n+2r),
que é uma série telescópica.

Passo 4

Considere a soma parcial até N:
SN = 12 sumn=1^Nl(1n - 1n+2r)
Ao expandir, quase todos os termos se cancelam, sobrando
SN = 12l(11 + 12 - 1N+1 - 1N+2r)

Passo 5

Fazendo N to infty, temos tfrac1N+1to0 e tfrac1N+2to0. Logo
limNtoinftySN = 12l(1 + tfrac12r) = 12cdot32 = 34
Isso mostra que a série converge (e seu valor é finito).

Resposta

A série converge e
sumn=1^infty1n(n+2) = 34

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