Determine se a série é convergente ou divergente, utilizando os testes de convergência de séries numéricas.
.
Passo 1
O enunciado pede para analisar a convergência da série
O conteúdo principal é reconhecer que essa soma pode ser tratada por decomposição em frações parciais e telescopamento.
Passo 2
Vamos escrever o termo geral em frações parciais. Procuramos constantes
Multiplicando ambos os lados por
, obtemos
Igualando coeficientes em
e termo constante vem
logo .
Passo 3
Substituindo em cada termo da série,
Portanto
que é uma série telescópica.
Passo 4
Considere a soma parcial até
N :
Ao expandir, quase todos os termos se cancelam, sobrando
Passo 5
Fazendo
N to infty , temos
tfrac1N+1to0 e
tfrac1N+2to0 . Logo
Isso mostra que a série converge (e seu valor é finito).
Resposta
A série converge e