Estude a função abaixo com relação aos intervalos de crescimento e decrescimento, concavidade, pontos de inflexão e esboçe o gráfico da função.
f(x)=x^3-x^2+1

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nessa função aí: f(x) = x^3 - x^2 + 1 . Nosso objetivo é estudar como essa função se comporta em termos de onde ela está crescendo ou diminuindo, sua concavidade, pontos de inflexão e, por fim, esboçar o gráfico dela. Para isso, vamos precisar usar derivadas, que nos ajudam a entender essas características da função.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada primeira da função, que nos ajuda a identificar os intervalos onde a função está crescendo ou diminuindo. A derivada de f(x) é:
f'(x) = ddx(x^3) - ddx(x^2) + ddx(1) = 3x^2 - 2x

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo f'(x) = 0 :
3x^2 - 2x = 0 x(3x - 2) = 0 x = 0 ou 3x - 2 = 0 Rightarrow x = 23
Então, os pontos críticos são x = 0 e x = 23 .

Passo 4

Vamos determinar onde a função está crescendo ou diminuindo usando a derivada primeira. Vamos testar valores nos intervalos determinados pelos pontos críticos:
  1. Intervalo (-∞, 0): Escolha x = -1
f'(-1) = 3(-1)^2 - 2(-1) = 3 + 2 = 5 > 0 Rightarrow Crescendo
  1. Intervalo (0, 23): Escolha x = 12
f'(12) = 3(12)^2 - 2(12) = 34 - 1 = -14 < 0 Rightarrow Decrescendo
  1. Intervalo (23, +∞): Escolha x = 1
f'(1) = 3(1)^2 - 2(1) = 3 - 2 = 1 > 0 Rightarrow Crescendo
Resumo:
  • Cresce em (-∞, 0) e (23, +∞)
  • Decresce em (0, 23)

Passo 5

Agora, vamos encontrar a derivada segunda para analisar a concavidade e encontrar os pontos de inflexão:
f''(x) = ddx(3x^2 - 2x) = 6x - 2

Passo 6

Encontramos os pontos onde a concavidade pode mudar resolvendo f''(x) = 0 :
6x - 2 = 0 6x = 2 x = 13
Então, temos um ponto potencial de inflexão em x = 13 .

Passo 7

Vamos determinar a concavidade nos intervalos definidos por x = 13 :
  1. Intervalo (-∞, 13): Escolha x = 0
f''(0) = 6(0) - 2 = -2 < 0 Rightarrow Concava para baixo
  1. Intervalo (13, +∞): Escolha x = 1
f''(1) = 6(1) - 2 = 4 > 0 Rightarrow Concava para cima
Resumo:
  • Concavidade para baixo em (-∞, 13)
  • Concavidade para cima em (13, +∞)
Então, temos um ponto de inflexão em x = 13 .

Passo 8

Finalmente, vamos esboçar o gráfico da função usando as informações que obtivemos:
  • A função é um polinômio de terceiro grau, então seu gráfico será uma curva suave.
  • Intercepta o eixo y em (0, 1) porque f(0) = 1 .
  • Tem pontos críticos em x = 0 e x = 23 .
  • Cresce em (-∞, 0) e (23, +∞) , e decresce em (0, 23) .
  • Tem concavidade para baixo antes de x = 13 e para cima depois.
  • Ponto de inflexão em x = 13 .
Com base nisso, o gráfico terá uma forma típica de um cúbico, com uma curva que sobe, desce e volta a subir, mudando sua concavidade no ponto de inflexão.

Resposta

Analisando a função f(x) = x^3 - x^2 + 1 :
  • Intervalos de Crescimento: (-∞, 0) e (23, +∞)
  • Intervalos de Decrescimento: (0, 23)
  • Concavidade para Baixo: (-∞, 13)
  • Concavidade para Cima: (13, +∞)
  • Ponto de Inflexão: x = 13
O gráfico apresenta uma curva cúbica com as características acima mencionadas.

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