Estude a função abaixo com relação aos intervalos de crescimento e decrescimento, concavidade, pontos de inflexão e esboçe o gráfico da função.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nessa função aí:
. Nosso objetivo é estudar como essa função se comporta em termos de onde ela está crescendo ou diminuindo, sua concavidade, pontos de inflexão e, por fim, esboçar o gráfico dela. Para isso, vamos precisar usar derivadas, que nos ajudam a entender essas características da função.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada primeira da função, que nos ajuda a identificar os intervalos onde a função está crescendo ou diminuindo. A derivada de
é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo
:
Então, os pontos críticos são
e
.
Passo 4
Vamos determinar onde a função está crescendo ou diminuindo usando a derivada primeira. Vamos testar valores nos intervalos determinados pelos pontos críticos:
- Intervalo
: Escolha
- Intervalo
: Escolha
- Intervalo
: Escolha
Resumo:
- Cresce em
e - Decresce em
Passo 5
Agora, vamos encontrar a derivada segunda para analisar a concavidade e encontrar os pontos de inflexão:
Passo 6
Encontramos os pontos onde a concavidade pode mudar resolvendo
:
Então, temos um ponto potencial de inflexão em
.
Passo 7
Vamos determinar a concavidade nos intervalos definidos por
:
- Intervalo
: Escolha
- Intervalo
: Escolha
Resumo:
- Concavidade para baixo em
- Concavidade para cima em
Então, temos um ponto de inflexão em
.
Passo 8
Finalmente, vamos esboçar o gráfico da função usando as informações que obtivemos:
- A função é um polinômio de terceiro grau, então seu gráfico será uma curva suave.
- Intercepta o eixo y em
porque . - Tem pontos críticos em
e . - Cresce em
e , e decresce em . - Tem concavidade para baixo antes de
e para cima depois. - Ponto de inflexão em
.
Com base nisso, o gráfico terá uma forma típica de um cúbico, com uma curva que sobe, desce e volta a subir, mudando sua concavidade no ponto de inflexão.
Resposta
Analisando a função
:
- Intervalos de Crescimento:
e - Intervalos de Decrescimento:
- Concavidade para Baixo:
- Concavidade para Cima:
- Ponto de Inflexão:
O gráfico apresenta uma curva cúbica com as características acima mencionadas.