Determine os pontos críticos. da função: g(x, y) = x^4 + y^4 - 4 x^2 y^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar os pontos críticos da função . Pontos críticos são onde as derivadas parciais da função em relação a e são iguais a zero. Para isso, vamos precisar calcular essas derivadas e resolver as equações resultantes.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e .
A derivada parcial de em relação a é:
E a derivada parcial de em relação a é:

Passo 3

Agora, para encontrar os pontos críticos, devemos igualar cada derivada parcial a zero e resolver o sistema de equações:

Passo 4

Vamos simplificar as equações dividindo cada uma por 4:
Agora, factoramos cada equação:
  1. Da primeira equação:
    Isso nos dá duas possibilidades:
  2. Da segunda equação:
    Também temos duas possibilidades:
Vamos analisar as diferentes combinações:
  • Caso 1: e
    Isso nos dá o ponto .
  • Caso 2: e
    Novamente, , resultando no mesmo ponto .
  • Caso 3: e
    Isso também leva ao ponto .
  • Caso 4: e
    Aqui, temos:
    Substituindo na segunda equação:
    Mais uma vez, chegamos ao ponto .

Resposta

O único ponto crítico da função é .

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