Determine os pontos críticos. da função:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar os pontos críticos da função
. Pontos críticos são onde as derivadas parciais da função em relação a
e
são iguais a zero. Para isso, vamos precisar calcular essas derivadas e resolver as equações resultantes.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
.
A derivada parcial de
em relação a
é:
E a derivada parcial de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, para encontrar os pontos críticos, devemos igualar cada derivada parcial a zero e resolver o sistema de equações:
Passo 4
Vamos simplificar as equações dividindo cada uma por 4:
Agora, factoramos cada equação:
-
Da primeira equação:Isso nos dá duas possibilidades:
-
-
Da segunda equação:Também temos duas possibilidades:
-
Vamos analisar as diferentes combinações:
-
Caso 1:
e Isso nos dá o ponto. -
Caso 2:
e Novamente,, resultando no mesmo ponto . -
Caso 3:
e Isso também leva ao ponto. -
Caso 4:
e Aqui, temos:Substituindona segunda equação: Mais uma vez, chegamos ao ponto.
Resposta
O único ponto crítico da função
é
.