Esboce a região de integração e calcule a integral.
© integral0^3 integral-2^0 x^2 y-2 x y d y d x

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício pede. A gente tem que esboçar a região de integração e calcular a integral dupla:
integral0^3 integral-2^0 (x^2 y - 2 x y) , dy , dx
Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente integrais duplas. Vamos precisar entender como integrar uma função em duas variáveis, primeiro em relação a e depois em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região de integração. Os limites para vão de 0 a 3, e para , de -2 a 0. Isso significa que estamos integrando sobre um retângulo no plano .
Imagine um gráfico onde o eixo vai de 0 a 3, e o eixo vai de -2 a 0. A área que vamos considerar é o retângulo formado por esses limites.

Passo 3

Agora, vamos resolver a integral passo a passo. A integral dupla pode ser resolvida integrando primeiro em relação a integral-2^0 (x^2 y - 2 x y) , dy e depois em relação a . Vamos começar integrando a função em relação a .

Passo 4

Vamos integrar termo por termo. Lembrando que quando integramos em relação a integral (x^2 y) , dy = x^2 cdot y^22 , tratamos integral (-2 x y) , dy = -2 x cdot y^22 = -x y^2 como uma constante.
x^2 cdot y^22 - x y^2
Então, a integral em relação a fica:

Passo 5

Agora, vamos avaliar essa expressão nos limites de x^2 cdot 0^22 - x cdot 0^2 = 0 e x^2 cdot (-2)^22 - x cdot (-2)^2 = x^2 cdot 42 - x cdot 4 = 2x^2 - 4x :
Para 0 - (2x^2 - 4x) = -2x^2 + 4x :
Para :
Agora subtraímos os valores:

Passo 6

Agora, nossa integral dupla simplificou para integrar essa expressão em relação a integral0^3 (-2x^2 + 4x) , dx :
Vamos integrar termo por termo novamente.

Passo 7

Integrando em relação a integral (-2x^2) , dx = -2 cdot x^33 = -23x^3 :
integral 4x , dx = 4 cdot x^22 = 2x^2
-23x^3 + 2x^2
Então, a integral em relação a fica:

Passo 8

Agora, vamos avaliar essa expressão nos limites de -23(3)^3 + 2(3)^2 = -23(27) + 2(9) = -18 + 18 = 0 e -23(0)^3 + 2(0)^2 = 0 :
Para 0 - 0 = 0 :
Para :
Agora subtraímos os valores:

Resposta

A integral dupla vale .

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