Esboce a região de integração e calcule a integral.
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Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício pede. A gente tem que esboçar a região de integração e calcular a integral dupla:
Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente integrais duplas. Vamos precisar entender como integrar uma função em duas variáveis, primeiro em relação a
e depois em relação a
.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região de integração. Os limites para
vão de 0 a 3, e para
, de -2 a 0. Isso significa que estamos integrando sobre um retângulo no plano
.
Imagine um gráfico onde o eixo
vai de 0 a 3, e o eixo
vai de -2 a 0. A área que vamos considerar é o retângulo formado por esses limites.
Passo 3
Agora, vamos resolver a integral passo a passo. A integral dupla pode ser resolvida integrando primeiro em relação a
e depois em relação a
. Vamos começar integrando a função
em relação a
.
Passo 4
Vamos integrar termo por termo. Lembrando que quando integramos em relação a
, tratamos
como uma constante.
Então, a integral em relação a
fica:
Passo 5
Agora, vamos avaliar essa expressão nos limites de
e
:
Para
:
Para
:
Agora subtraímos os valores:
Passo 6
Agora, nossa integral dupla simplificou para integrar essa expressão em relação a
:
Vamos integrar termo por termo novamente.
Passo 7
Integrando em relação a
:
Então, a integral em relação a
fica:
Passo 8
Agora, vamos avaliar essa expressão nos limites de
e
:
Para
:
Para
:
Agora subtraímos os valores:
Resposta
A integral dupla vale
.