Determine os pontos criticos da funcao:
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos a função f(x)=x4−4x2+2, que é um polinômio de quarto grau, e precisamos encontrar seus pontos críticos, ou seja, os valores de x onde f′(x)=0 ou onde f′ não existe (aqui existe em todo lugar). Para resolver, vamos usar a regra de potência da derivada que diz que se g(x)=x^n então g′(x)=n·x^{n−1}.
Passo 2
Aplicando essa regra em f(x)=x4−4x2+2, calculamos a derivada:
Passo 3
Agora igualamos f′(x)=0 e resolvemos:
Podemos fatorar 4x:
Passo 4
Isso leva a duas equações: x=0 e x^2−2=0, de onde x=±\sqrt{2}. Para obter os pontos no gráfico, calculamos f(x) nesses valores:
Passo 5
Para x=0:
Passo 6
Para x=±\sqrt{2}:
Passo 7
Portanto, os pontos críticos são as triplas (x,f(x)) correspondentes a x=0 e x=±\sqrt{2}.
Resposta
Os pontos críticos são (0,2), (\sqrt{2},-2) e (−\sqrt{2},-2).