Determine os pontos críticos das funções e classifique-os usando o critério da derivada segunda:
Passo 1
Então, a gente tem que encontrar os pontos críticos da função
e classificá-los usando o critério da derivada segunda. Isso envolve um pouco de cálculo de derivadas, então vamos por partes para entender direitinho o que precisa ser feito.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de
, que é
. A derivada nos ajuda a identificar onde a função tem tangentes horizontais, ou seja, onde a inclinação é zero. Esses pontos são os candidatos a pontos críticos.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os valores de
que tornam
, pois esses são os pontos onde a função pode ter máximos ou mínimos locais.
Resolvendo essa equação quadrática:
Então, temos duas soluções:
Portanto, os pontos críticos ocorrem em
e
.
Passo 4
Para classificar esses pontos críticos, vamos usar a segunda derivada
. A segunda derivada nos diz se o ponto crítico é um ponto de máximo, mínimo ou um ponto de inflexão.
Vamos calcular
:
Passo 5
Agora, vamos avaliar
nos pontos críticos encontrados:
Para
:
Como
, isso indica que
é um ponto de máximo local.
Para
:
Como
, isso indica que
é um ponto de mínimo local.
Resposta
Os pontos críticos da função são:
-
, que é um ponto de máximo local. -
, que é um ponto de mínimo local.