Determine os pontos críticos das funções e classifique-os usando o critério da derivada segunda:
f(x)=x^33-5 x^2+24 x+8

Passo 1

Então, a gente tem que encontrar os pontos críticos da função e classificá-los usando o critério da derivada segunda. Isso envolve um pouco de cálculo de derivadas, então vamos por partes para entender direitinho o que precisa ser feito.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de f'(x) = ddx( x^33 - 5x^2 + 24x + 8 ) = x^2 - 10x + 24 , que é . A derivada nos ajuda a identificar onde a função tem tangentes horizontais, ou seja, onde a inclinação é zero. Esses pontos são os candidatos a pontos críticos.

Passo 3

Agora, vamos encontrar os valores de x^2 - 10x + 24 = 0 que tornam x = 10 pm raiz(-10)^2 - 4 cdot 1 cdot 242 cdot 1 = 10 pm raiz100 - 962 = 10 pm 22 , pois esses são os pontos onde a função pode ter máximos ou mínimos locais.
x = 10 + 22 = 6 e x = 10 - 22 = 4
Resolvendo essa equação quadrática:
Então, temos duas soluções:
Portanto, os pontos críticos ocorrem em e .

Passo 4

Para classificar esses pontos críticos, vamos usar a segunda derivada f''(x) = ddx( x^2 - 10x + 24 ) = 2x - 10 . A segunda derivada nos diz se o ponto crítico é um ponto de máximo, mínimo ou um ponto de inflexão.
Vamos calcular :

Passo 5

Agora, vamos avaliar f''(4) = 2 cdot 4 - 10 = 8 - 10 = -2 nos pontos críticos encontrados:
Para f''(6) = 2 cdot 6 - 10 = 12 - 10 = 2 :
Como , isso indica que é um ponto de máximo local.
Para :
Como , isso indica que é um ponto de mínimo local.

Resposta

Os pontos críticos da função são:
  • , que é um ponto de máximo local.
  • , que é um ponto de mínimo local.

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