Determine os pontos de máximo e mínimo globais (absolutos) de f em cada domínio D indicado: f(x, y)=x^{4}+y^{4}-4 x y, D: 0 \leq x \leq 2,0 \leq y \leq 2
Passo 1
O enunciado pede: determinar os pontos de máximo e mínimo globais (absolutos) da função
f(x,y)=x^{4}+y^{4}-4xy
no domínio fechado e limitado
D:\;0\le x\le2,\;0\le y\le2.
Informações dadas e o que precisamos encontrar:
A função f está definida em todo o retângulo D.
Preciso achar os pontos (x,y)\in D onde f atinge o menor valor (mínimo global) e o maior valor (máximo global) e também os valores de f nesses pontos.
Como o domínio é fechado e limitado e f é contínua, sabemos que existe pelo menos um mínimo e um máximo globais em D. A resolução seguirá encontrando candidatos (pontos críticos no interior e pontos críticos nas fronteiras) e comparando os valores de f.
Passo 2
Primeiro passo técnico: calcular os pontos críticos no interior de D. Para isso usamos as derivadas parciais e igualamos a zero. Explicando a ideia: um ponto interior que é extremo (mínimo ou máximo) obrigatoriamente satisfaz \nabla f=0 (gradiente nulo). Então calculamos
\frac{\partial f}{\partial x}=4x^{3}-4y,
\frac{\partial f}{\partial y}=4y^{3}-4x.
Igualando a zero temos o sistema
4x^{3}-4y=0,\qquad 4y^{3}-4x=0.
Podemos dividir por 4 em ambas as equações para simplificar:
x^{3}-y=0,\qquad y^{3}-x=0.
Passo 3
Resolver o sistema do passo anterior. Das equações temos
e como \dfrac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}(1,1)=12>0, a Hessiana é definida positiva, logo (1,1) é um mínimo local.
Portanto, entre os pontos críticos internos, (0,0) é ponto de sela e (1,1) é mínimo local (candidato a mínimo global).]
Passo 5
Agora precisamos analisar a fronteira do retângulo D. A fronteira tem quatro arestas:
x=0,\;0\le y\le2.
x=2,\;0\le y\le2.
y=0,\;0\le x\le2.
y=2,\;0\le x\le2.
Em cada aresta reduzimos a f a uma função de uma variável e procuramos extremos nessa variável no intervalo correspondente (incluindo extremos dos extremos).
Aresta 1: x=0. Então
f(0,y)=0^{4}+y^{4}-0= y^{4}.
Esta é uma função simples de y para 0\le y\le2. É crescente em [0,2] para valores não-negativos (pois y^{4}\ge0). Assim o mínimo nessa aresta é em y=0 com f(0,0)=0 e o máximo é em y=2 com f(0,2)=16.
Aresta 3: y=0. Simetricamente,
f(x,0)=x^{4}
para 0\le x\le2. Mínimo em x=0 com f(0,0)=0 e máximo em x=2 com f(2,0)=16.
Aresta 2: x=2. Então consideramos
g(y)=f(2,y)=2^{4}+y^{4}-4\cdot2\cdot y =16+y^{4}-8y,\qquad 0\le y\le2.
Para achar extremos interiores derivamos:
g'(y)=4y^{3}-8=4(y^{3}-2).
Igualando a zero: y^{3}=2 → y=\sqrt[3]{2}. Esse valor está no intervalo [0,2] (pois \sqrt[3]{2}\approx1,2599). Avaliamos g nos candidatos y=0,\\ y=\sqrt[3]{2},\\ y=2:
g(0)=16.
Usando y_{0}=\sqrt[3]{2} e lembrando que y_{0}^{3}=2, temos y_{0}^{4}=y_{0}\cdot y_{0}^{3}=2y_{0}. Então
g(2)=16+16-16=16.
Conclusão na aresta x=2: o mínimo relativo nessa aresta ocorre em y=\sqrt[3]{2} com valor 16-6\sqrt[3]{2}\approx8,4406; os valores em y=0 e y=2 são 16.
Aresta 4: y=2. Analogamente,
h(x)=f(x,2)=x^{4}+16-8x,\qquad 0\le x\le2.
Derivando:
h'(x)=4x^{3}-8=4(x^{3}-2).
Zero em x=\sqrt[3]{2}. Avaliando:
h(0)=16.
h(\sqrt[3]{2})=16-6\sqrt[3]{2}\approx8,4406.
h(2)=16.
Conclusão na aresta y=2: mesmo comportamento da aresta x=2.
Também verificar os quatro vértices (já cobertos nos casos acima):
Reunir todos os candidatos a extremos e comparar os valores de f. Candidatos encontrados:
Interior: (0,0) com f(0,0)=0; (1,1) com f(1,1)=1+1-4= -2.
Fronteira (arestas): pontos com valores 16 (em (0,2),(2,0),(2,2) e nas extremidades das arestas), e pontos nos meios das arestas x=2 ou y=2 em \sqrt[3]{2} com valor 16-6\sqrt[3]{2}\approx8,4406.
Comparando números:
-2 < 0 < 8{,}4406 < 16.
Portanto o menor valor entre todos os candidatos é f(1,1)=-2 e o maior valor é 16, atingido em (0,2),(2,0) e (2,2) (os cantos superiores e laterais do retângulo indicados).
Resposta
Mínimo global: (1,1) com valor -2.
Máximos globais: (0,2),\\ (2,0),\\ (2,2) com valor 16.