Determine os pontos de máximo e mínimo globais (absolutos) de f em cada domínio D indicado:
f(x, y)=x^{4}+y^{4}-4 x y, D: 0 \leq x \leq 2,0 \leq y \leq 2

Passo 1

O enunciado pede: determinar os pontos de máximo e mínimo globais (absolutos) da função
f(x,y)=x^{4}+y^{4}-4xy
no domínio fechado e limitado
D:\;0\le x\le2,\;0\le y\le2.
Informações dadas e o que precisamos encontrar:
  • A função f está definida em todo o retângulo D.
  • Preciso achar os pontos (x,y)\in D onde f atinge o menor valor (mínimo global) e o maior valor (máximo global) e também os valores de f nesses pontos.
  • Como o domínio é fechado e limitado e f é contínua, sabemos que existe pelo menos um mínimo e um máximo globais em D. A resolução seguirá encontrando candidatos (pontos críticos no interior e pontos críticos nas fronteiras) e comparando os valores de f.

Passo 2

Primeiro passo técnico: calcular os pontos críticos no interior de D. Para isso usamos as derivadas parciais e igualamos a zero. Explicando a ideia: um ponto interior que é extremo (mínimo ou máximo) obrigatoriamente satisfaz \nabla f=0 (gradiente nulo). Então calculamos
\frac{\partial f}{\partial x}=4x^{3}-4y,
\frac{\partial f}{\partial y}=4y^{3}-4x.
Igualando a zero temos o sistema
4x^{3}-4y=0,\qquad 4y^{3}-4x=0.
Podemos dividir por 4 em ambas as equações para simplificar:
x^{3}-y=0,\qquad y^{3}-x=0.

Passo 3

Resolver o sistema do passo anterior. Das equações temos
y=x^{3}
e substituindo na segunda:
(x^{3})^{3}-x=0 \Rightarrow x^{9}-x=0.
Fatorando,
x(x^{8}-1)=0 \Rightarrow x=0 \quad\text{ou}\quad x^{8}=1.
Como x é real, x^{8}=1 implica x=\pm1. Porém o domínio exige 0\le x\le2, então aceitamos x=0 e x=1. Para cada um, y=x^{3} dá:
  • Se x=0 então y=0 → ponto (0,0).
  • Se x=1 então y=1 → ponto (1,1).
    Conclusão: os pontos críticos no interior de D são (0,0) e (1,1).

Passo 4

Classificar esses pontos críticos localmente usando as segundas derivadas (matriz Hessiana). A Hessiana de f é
H_f(x,y)=\begin{pmatrix} \dfrac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}} & \dfrac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y} \\[6pt] \dfrac{\partial^{2}f}{\partial y\partial x} & \dfrac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12x^{2} & -4 \\\\ -4 & 12y^{2}\end{pmatrix}.
Avaliamoa determinante e os elementos para cada ponto:
  • Em (0,0):
H_f(0,0)=\begin{pmatrix}0 & -4\\\\ -4 & 0\end{pmatrix},\qquad \det H_f(0,0)=0\cdot0-(-4)^{2}=-16<0.
Quando o determinante da Hessiana é negativo, o ponto é um ponto de sela (não é extremo).
  • Em (1,1):
H_f(1,1)=\begin{pmatrix}12 & -4\\\\ -4 & 12\end{pmatrix},\qquad \det H_f(1,1)=12\cdot12-(-4)^{2}=144-16=128>0,
e como \dfrac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}(1,1)=12>0, a Hessiana é definida positiva, logo (1,1) é um mínimo local.
Portanto, entre os pontos críticos internos, (0,0) é ponto de sela e (1,1) é mínimo local (candidato a mínimo global).]

Passo 5

Agora precisamos analisar a fronteira do retângulo D. A fronteira tem quatro arestas:
  1. x=0,\;0\le y\le2.
  2. x=2,\;0\le y\le2.
  3. y=0,\;0\le x\le2.
  4. y=2,\;0\le x\le2.
Em cada aresta reduzimos a f a uma função de uma variável e procuramos extremos nessa variável no intervalo correspondente (incluindo extremos dos extremos).
Aresta 1: x=0. Então
f(0,y)=0^{4}+y^{4}-0= y^{4}.
Esta é uma função simples de y para 0\le y\le2. É crescente em [0,2] para valores não-negativos (pois y^{4}\ge0). Assim o mínimo nessa aresta é em y=0 com f(0,0)=0 e o máximo é em y=2 com f(0,2)=16.
Aresta 3: y=0. Simetricamente,
f(x,0)=x^{4}
para 0\le x\le2. Mínimo em x=0 com f(0,0)=0 e máximo em x=2 com f(2,0)=16.
Aresta 2: x=2. Então consideramos
g(y)=f(2,y)=2^{4}+y^{4}-4\cdot2\cdot y =16+y^{4}-8y,\qquad 0\le y\le2.
Para achar extremos interiores derivamos:
g'(y)=4y^{3}-8=4(y^{3}-2).
Igualando a zero: y^{3}=2 y=\sqrt[3]{2}. Esse valor está no intervalo [0,2] (pois \sqrt[3]{2}\approx1,2599). Avaliamos g nos candidatos y=0,\\ y=\sqrt[3]{2},\\ y=2:
  • g(0)=16.
  • Usando y_{0}=\sqrt[3]{2} e lembrando que y_{0}^{3}=2, temos y_{0}^{4}=y_{0}\cdot y_{0}^{3}=2y_{0}. Então
g(y_{0})=16+y_{0}^{4}-8y_{0}=16+2y_{0}-8y_{0}=16-6y_{0}.
Numericamente 16-6\sqrt[3]{2}\approx16-6(1,2599)\approx8,4406.
  • g(2)=16+16-16=16.
    Conclusão na aresta x=2: o mínimo relativo nessa aresta ocorre em y=\sqrt[3]{2} com valor 16-6\sqrt[3]{2}\approx8,4406; os valores em y=0 e y=2 são 16.
Aresta 4: y=2. Analogamente,
h(x)=f(x,2)=x^{4}+16-8x,\qquad 0\le x\le2.
Derivando:
h'(x)=4x^{3}-8=4(x^{3}-2).
Zero em x=\sqrt[3]{2}. Avaliando:
  • h(0)=16.
  • h(\sqrt[3]{2})=16-6\sqrt[3]{2}\approx8,4406.
  • h(2)=16.
    Conclusão na aresta y=2: mesmo comportamento da aresta x=2.
Também verificar os quatro vértices (já cobertos nos casos acima):
f(0,0)=0,\quad f(0,2)=16,\quad f(2,0)=16,\quad f(2,2)=16.

Passo 6

Reunir todos os candidatos a extremos e comparar os valores de f. Candidatos encontrados:
  • Interior: (0,0) com f(0,0)=0; (1,1) com f(1,1)=1+1-4= -2.
  • Fronteira (arestas): pontos com valores 16 (em (0,2),(2,0),(2,2) e nas extremidades das arestas), e pontos nos meios das arestas x=2 ou y=2 em \sqrt[3]{2} com valor 16-6\sqrt[3]{2}\approx8,4406.
    Comparando números:
-2 < 0 < 8{,}4406 < 16.
Portanto o menor valor entre todos os candidatos é f(1,1)=-2 e o maior valor é 16, atingido em (0,2),(2,0) e (2,2) (os cantos superiores e laterais do retângulo indicados).

Resposta

Mínimo global: (1,1) com valor -2.
Máximos globais: (0,2),\\ (2,0),\\ (2,2) com valor 16.

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