A integral iterada
representa, em coordenadas esféricas, a integral tripla de
sobre uma certa região
.
Calcule
e a integral iterada dada.
Calcule
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos pede para calcular o volume da região
e também a integral tripla dada em coordenadas esféricas. Para isso, vamos precisar entender como funcionam as integrais em coordenadas esféricas e as fórmulas associadas. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa integrar em coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, qualquer ponto no espaço é representado por
, onde:
-
é a distância do ponto à origem, -
é o ângulo no plano (longitude), -
é o ângulo entre o eixo e a linha que vai da origem ao ponto (latitude).
A integral tripla em coordenadas esféricas é dada por:
Aqui,
é a função que estamos integrando, e
é o elemento de volume em coordenadas esféricas.
Passo 3
Vamos analisar a integral dada:
Comparando com a forma geral da integral em coordenadas esféricas, percebemos que estamos lidando com
e que o elemento de volume
já está incorporado na integral.
Passo 4
Para calcular o volume da região
, basta usar
. Assim, a integral para o volume fica:
Vamos resolver essa integral primeiro.
Passo 5
Vamos resolver a integral em
:
Passo 6
Agora, vamos integrar em
:
Vamos utilizar a substituição
, então
. Quando
,
; e quando
,
.
A integral fica:
Passo 7
Por fim, integramos em
:
Então, o volume da região
é
.
Resposta
O volume da região
é
e a integral tripla dada é igual a
.