A integral iterada integral0^2 pi d theta integral0^pi2 sin 2 varphi d varphi integral0^2 cos varphi rho^3 raiz4-rho^2 d rho representa, em coordenadas esféricas, a integral tripla de f(x, y, z) sobre uma certa região Omegaxyz subset Rxyz^3.
Calcule vol(Omegaxyz) e a integral iterada dada.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos pede para calcular o volume da região Omegaxyz e também a integral tripla dada em coordenadas esféricas. Para isso, vamos precisar entender como funcionam as integrais em coordenadas esféricas e as fórmulas associadas. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa integrar em coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, qualquer ponto no espaço é representado por (rho, theta, varphi), onde:
  • rho é a distância do ponto à origem,
  • theta é o ângulo no plano xy (longitude),
  • varphi é o ângulo entre o eixo z e a linha que vai da origem ao ponto (latitude).
A integral tripla em coordenadas esféricas é dada por:
integral integral integral f(x, y, z) , dV = integralthetamin^thetamax integralvarphimin^varphimax integralrhomin^rhomax f(rho, theta, varphi) , rho^2 sin varphi , drho , dvarphi , dtheta
Aqui, f(rho, theta, varphi) é a função que estamos integrando, e rho^2 sin varphi é o elemento de volume em coordenadas esféricas.

Passo 3

Vamos analisar a integral dada:
integral0^2pi dtheta integral0^pi2 sin 2varphi , dvarphi integral0^2cosvarphi rho^3 raiz4 - rho^2 , drho
Comparando com a forma geral da integral em coordenadas esféricas, percebemos que estamos lidando com f(rho, theta, varphi) = rho^3 raiz4 - rho^2 e que o elemento de volume rho^2 sin varphi já está incorporado na integral.

Passo 4

Para calcular o volume da região Omegaxyz, basta usar f(x, y, z) = 1. Assim, a integral para o volume fica:
Volume = integral0^2pi dtheta integral0^pi2 sin varphi , dvarphi integral0^2cosvarphi rho^2 , drho
Vamos resolver essa integral primeiro.

Passo 5

Vamos resolver a integral em rho:
integral0^2cosvarphi rho^2 , drho = [ rho^33 ]0^2cosvarphi = (2cosvarphi)^33 = 8cos^3varphi3

Passo 6

Agora, vamos integrar em varphi:
integral0^pi2 sin varphi cdot 8cos^3varphi3 , dvarphi = 83 integral0^pi2 sin varphi cos^3varphi , dvarphi
Vamos utilizar a substituição u = cosvarphi, então du = -sinvarphi , dvarphi. Quando varphi = 0, u = 1; e quando varphi = pi2, u = 0.
A integral fica:
83 integral1^0 u^3 (-du) = 83 integral0^1 u^3 , du = 83 [ u^44 ]0^1 = 83 cdot 14 = 23

Passo 7

Por fim, integramos em theta:
integral0^2pi dtheta cdot 23 = 23 cdot 2pi = 4pi3
Então, o volume da região Omegaxyz é 4pi3.

Resposta

O volume da região Omegaxyz é 4pi3 e a integral tripla dada é igual a 4pi3.

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