Determine os pontos críticos das funções, a seguir investigue a sua natureza:
(g)
R:
Ponto de máximo
(g)
R:
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar os pontos críticos da função
e investigar a natureza desses pontos. Isso envolve usar cálculo multivariável, mais especificamente, encontrar as derivadas parciais para identificar onde a função tem máximos, mínimos ou pontos de sela.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a
e
. As derivadas parciais nos ajudam a entender como a função muda quando uma variável varia, mantendo a outra constante.
A derivada parcial de
em relação a
é:
E a derivada parcial de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, para encontrar os pontos críticos, precisamos resolver o sistema onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero:
Resolvendo a primeira equação para
:
E resolvendo a segunda equação para
:
Portanto, o ponto crítico é
.
Passo 4
Para investigar a natureza desse ponto crítico, usamos o teste da segunda derivada. Calculamos as segundas derivadas parciais e o discriminante
:
O discriminante
é dado por:
Passo 5
Analisando o discriminante
:
- Se
e , então temos um ponto de máximo. - Se
e , então temos um ponto de mínimo. - Se
, é um ponto de sela. - Se
, o teste é inconclusivo.
No nosso caso,
e
, então o ponto
é um ponto de máximo.
Resposta
O ponto crítico é
, que é um ponto de máximo.