Determine os pontos críticos das funções, a seguir investigue a sua natureza:
(g) f(x, y) = -x^2 - 4x - y^2 + 2y - 1
R: -2,1 Ponto de máximo

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar os pontos críticos da função e investigar a natureza desses pontos. Isso envolve usar cálculo multivariável, mais especificamente, encontrar as derivadas parciais para identificar onde a função tem máximos, mínimos ou pontos de sela.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a e . As derivadas parciais nos ajudam a entender como a função muda quando uma variável varia, mantendo a outra constante.
A derivada parcial de em relação a é:
E a derivada parcial de em relação a é:

Passo 3

Agora, para encontrar os pontos críticos, precisamos resolver o sistema onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero:
Resolvendo a primeira equação para :
E resolvendo a segunda equação para :
Portanto, o ponto crítico é .

Passo 4

Para investigar a natureza desse ponto crítico, usamos o teste da segunda derivada. Calculamos as segundas derivadas parciais e o discriminante :
O discriminante é dado por:

Passo 5

Analisando o discriminante :
  • Se e , então temos um ponto de máximo.
  • Se e , então temos um ponto de mínimo.
  • Se , é um ponto de sela.
  • Se , o teste é inconclusivo.
No nosso caso, e , então o ponto é um ponto de máximo.

Resposta

O ponto crítico é , que é um ponto de máximo.

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