Determine os pontos críticos das seguintes funções:
f(x ; y)=x^4+2 x^2-2 x y

Passo 1

O enunciado fornece a função de duas variáveis
f(x,y)=x^4+2x^2-2xy
e pede os pontos críticos, isto é, os pontos (x,y) onde o gradiente de f se anula. Vamos usar o conceito de que pontos críticos satisfazem
nabla f=(fx,fy)=(0,0)

Passo 2

Calculamos a derivada parcial de f em relação a x:
fx=partialpartial xl(x^4+2x^2-2xyr) =4x^3+4x-2y

Passo 3

Calculamos a derivada parcial de f em relação a y:
fy=partialpartial yl(x^4+2x^2-2xyr) =-2x

Passo 4

Impondo as condições de estacionaridade
Da segunda equação vem obtemos , logo .

Resposta

O único ponto crítico de f é (0,0).

Exercícios relacionados