Determine os pontos críticos das seguintes funções e classifique-os como pontos de máximo ou de mínimo local:
f(x)=x^33+x^22-6 x+1

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os pontos críticos da função
f(x)=x^33+x^22-6x+1
ou seja, os valores de x onde f'(x)=0 ou f'(x) não está definida, e depois classificar cada ponto como máximo ou mínimo local usando o teste da segunda derivada.

Passo 2

Vamos calcular a primeira derivada f'(x). Aplicando a regra do poder termo a termo, temos
f'(x)=ddxl(tfracx^33r)+ddxl(tfracx^22r)-ddx(6x)+ddx(1) =;x^2+x-6
Para achar os pontos críticos, resolvemos
x^2+x-6=0
Esse polinômio fatora como (x+3)(x-2)=0, logo as soluções são
x=-3 e x=2

Passo 3

Agora calculamos a segunda derivada
f''(x)=ddxl(x^2+x-6r)=2x+1
Para cada ponto crítico, avaliamos f'' para decidir a concavidade:
  • Em x=-3: f''(-3)=2cdot(-3)+1=-6+1=-5<0, o que indica concavidade para baixo e, portanto, um máximo local.
  • Em x=2: f''(2)=2cdot2+1=4+1=5>0, o que indica concavidade para cima e, portanto, um mínimo local.

Resposta

O ponto crítico x=-3 é um máximo local e o ponto crítico x=2 é um mínimo local.

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