Determine os pontos críticos das seguintes funções e classifique-os como pontos de máximo ou de mínimo local:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os pontos críticos da função
ou seja, os valores de
onde
ou
não está definida, e depois classificar cada ponto como máximo ou mínimo local usando o teste da segunda derivada.
Passo 2
Vamos calcular a primeira derivada
. Aplicando a regra do poder termo a termo, temos
Para achar os pontos críticos, resolvemos
Esse polinômio fatora como
, logo as soluções são
Passo 3
Agora calculamos a segunda derivada
Para cada ponto crítico, avaliamos
para decidir a concavidade:
- Em
: o que indica concavidade para baixo e, portanto, um máximo local. - Em
: o que indica concavidade para cima e, portanto, um mínimo local.
Resposta
O ponto crítico
é um máximo local e o ponto crítico
é um mínimo local.