Determine os pontos críticos das seguintes funções e classifique-os como pontos de máximo ou de mínimo local:
f(x)=x+1x

Passo 1

O enunciado pede para achar os pontos críticos de f(x)=x+tfrac1x (domínio Rsetminus0) e classificá-los como máximos ou mínimos locais. Vamos usar cálculo de derivadas: primeiro encontramos f'(x) e achamos onde ela se anula ou não existe; em seguida, aplicamos o teste da segunda derivada para classificar cada ponto.

Passo 2

Derivando termo a termo: a derivada de x é 1 e a derivada de tfrac1x é -tfrac1x^2. Logo,
f'(x)=1-1x^2

Passo 3

Para achar os pontos críticos, resolvemos
f'(x)=0 Longrightarrow 1-1x^2=0 Longrightarrow 1x^2=1 Longrightarrow x^2=1 Longrightarrow x=pm1
O ponto x=0 não entra porque f não está definida ali.

Passo 4

Calculamos a segunda derivada para classificar:
f''(x) =ddxl(1-1x^2r) =0+2x^3 =2x^3
Em x=1 temos
f''(1)=21^3=2>0,
portanto x=1 é ponto de mínimo local.
Em x=-1 temos
f''(-1)=2(-1)^3=-2<0,
portanto x=-1 é ponto de máximo local.

Resposta

Os pontos críticos são x=-1 (máximo local) e x=1 (mínimo local).

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