Determine os pontos da curva y^2-x^2=2 cujas inclinaçes das retas fleante sojam raiz2. Interprete geometricamente o resultado obtido.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar os pontos na curva dada por y^2 - x^2 = 2 onde a inclinação das retas tangentes é igual a raiz2 . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas, especificamente a diferenciação implícita, que nos ajuda a encontrar a inclinação da reta tangente a uma curva definida de forma implícita como essa.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada de y em relação a x , ou seja, dydx , que representa a inclinação da reta tangente à curva em qualquer ponto (x, y).
Começamos diferenciando ambos os lados da equação y^2 - x^2 = 2 em relação a x :
ddx(y^2) - ddx(x^2) = ddx(2)
Aplicando a regra da cadeia para y^2 e a regra do poder para x^2 :
2y cdot dydx - 2x = 0
Agora, vamos isolar dydx :
2y cdot dydx = 2x
dydx = 2x2y = xy
Então, a inclinação da reta tangente em qualquer ponto (x, y) da curva é xy .

Passo 3

Agora, queremos encontrar os pontos onde essa inclinação é igual a raiz2 . Portanto, igualamos a derivada a raiz2 :
dydx = xy = raiz2
Isso nos dá uma relação entre x e y :
x = y cdot raiz2

Passo 4

Com essa relação, vamos substituir x na equação original da curva para encontrar os valores de y :
y^2 - (y cdot raiz2)^2 = 2
y^2 - 2y^2 = 2
- y^2 = 2
y^2 = -2

Passo 5

Aqui encontramos um problema: y^2 = -2 . No conjunto dos números reais, não existe nenhum número cujo quadrado seja negativo. Portanto, não há valores reais de y que satisfaçam essa equação.

Resposta

Não existe nenhum ponto real na curva y^2 - x^2 = 2 onde a inclinação da reta tangente seja igual a raiz2 . Geometricamente, isso significa que nenhuma reta com inclinação raiz2 toca a hipérbole definida por essa equação.

Exercícios relacionados