Determine os pontos da curva
cujas inclinaçes das retas fleante sojam
. Interprete geometricamente o resultado obtido.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar os pontos na curva dada por
onde a inclinação das retas tangentes é igual a
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas, especificamente a diferenciação implícita, que nos ajuda a encontrar a inclinação da reta tangente a uma curva definida de forma implícita como essa.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada de
em relação a
, ou seja,
, que representa a inclinação da reta tangente à curva em qualquer ponto
.
Começamos diferenciando ambos os lados da equação
em relação a
:
Aplicando a regra da cadeia para
e a regra do poder para
:
Agora, vamos isolar
:
Então, a inclinação da reta tangente em qualquer ponto
da curva é
.
Passo 3
Agora, queremos encontrar os pontos onde essa inclinação é igual a
. Portanto, igualamos a derivada a
:
Isso nos dá uma relação entre
e
:
Passo 4
Com essa relação, vamos substituir
na equação original da curva para encontrar os valores de
:
Passo 5
Aqui encontramos um problema:
. No conjunto dos números reais, não existe nenhum número cujo quadrado seja negativo. Portanto, não há valores reais de
que satisfaçam essa equação.
Resposta
Não existe nenhum ponto real na curva
onde a inclinação da reta tangente seja igual a
. Geometricamente, isso significa que nenhuma reta com inclinação
toca a hipérbole definida por essa equação.