Use derivação implícita para encontrar a equação da reta tangente ao gráfico da curva
3 sen(x y)+y^2=x+1
no ponto (underset0x, 1).

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos a reta tangente ao gráfico da curva
3sin(xy)+y^2=x+1
no ponto (0,1). O conteúdo aqui é derivação implícita, ou seja, vamos diferenciar ambos os lados em relação a x, tratando y como função de x, e depois achar o coeficiente angular dydx nesse ponto.

Passo 2

Diferenciando os dois membros em relação a x, temos
ddxl[3sin(xy)r]+ddxl[y^2r] =ddx[x+1]
Pelo lado direito ddx[x+1]=1. Pelo lado esquerdo, usamos a regra da cadeia e a regra do produto em sin(xy):
ddx[3sin(xy)] =3cos(xy),ddx(xy), ddx[y^2]=2ydydx

Passo 3

Agora aplicamos a regra do produto em ddx(xy):
ddx(xy)=y + xdydx
Logo a derivada implícita fica
3cos(xy)l(y + xtfracdydxr) + 2ytfracdydx = 1

Passo 4

Agrupando os termos que envolvem tfracdydx,
3ycos(xy) + l(3xcos(xy)+2yr)tfracdydx = 1,
tfracdydx = 1 - 3ycos(xy)3xcos(xy)+2y

Passo 5

Avaliaremos essa fórmula em (x,y)=(0,1). Note que cos(0cdot1)=cos(0)=1, então
tfracdydx|(0,1) = 1 - 3cdot1cdot13cdot0cdot1 + 2cdot1 = 1-32 = -1
Portanto, o coeficiente angular da reta tangente é -1.

Passo 6

Com o ponto (0,1) e a inclinação m=-1, a equação ponto-inclinação é
y - 1 = -1,(x - 0) Longrightarrow y = -x + 1

Resposta

A reta tangente é
y = 1 - x

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