Use a integral tripla para determinar o volume do sólido dado.
O sólido limitado pelo cilindro x^2+z^2=4 e pelos planos y=-1 e y+z=4

Passo 1

Vamos calcular o volume do sólido limitado pelo cilindro ,x^2+z^2=4, pelo plano ,y=-1 e pelo plano ,y+z=4. O conteúdo principal aqui é o uso de integral tripla em coordenadas cartesianas, seguida de passagem para coordenadas polares no plano xz.

Passo 2

Para montar a integral tripla, projetamos o sólido no plano xz. A projeção é o disco
D=(x,z)mid x^2+z^2<=4
Em cada ponto (x,z)in D, y varia de -1 até 4 - z. Logo,
V=integral triplaVdV =integral duplaDl(integraly=-1^,4-zdyr)dA

Passo 3

Calculamos a integral interna em y:
integraly=-1^,4-zdy =(4 - z)-(-1) =5 - z
Assim
V=integral duplaD(5 - z),dA

Passo 4

Para avaliar integral duplaD(5 - z),dA, usamos coordenadas polares no plano xz:
x = rcostheta, z = rsintheta, dA = r,dr,dtheta,
com 0<= r<=2 e 0<=theta<=2pi. Então
V =integral0^2pi!!integral0^2l(5 - rsinthetar),r,dr,dtheta =integral0^2pi!!integral0^2l(5r - r^2sinthetar),dr,dtheta

Passo 5

Primeiro integramos em r:
integral0^2l(5r - r^2sinthetar)dr =5cdot2^22-sinthetacdot2^33 =10-83sintheta
Agora em theta:
V =integral0^2pil(10-tfrac83sinthetar)dtheta =10cdot2pi-tfrac83underbraceintegral0^2pisintheta,dtheta0 =20pi

Resposta

V = 20pi

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