2 [2.0 pt](a)[1,0 pt] Determine os pontos nos quais a curva
r=t i+t^2 j-3 t k
intersecta o plano 2 x-y+z=-2
(b) [1,0 pt] Para a curva e o plano da parte (a), determine, em radianos, o ângulo agudo que a reta tangente à curva faz com a reta normal ao plano em cada ponto de interseção.

Passo 1

O enunciado dá a curva parametrizada
r(t)=t,i+t^2,j-3t,k
e o plano de equação
2x - y + z = -2
Na parte (a) vamos achar os valores de t para os quais r(t) satisfaz a equação do plano. Na parte (b) vamos calcular a reta tangente à curva, determinar seu vetor diretor, e encontrar o ângulo agudo entre esse vetor e a normal do plano n=(2,-1,1).

Passo 2

Para achar a interseção, substituímos x=t, y=t^2 e z=-3t na equação do plano:
2t - t^2 +(-3t) = -2
Isso dá
-,t^2 - t = -2 Longrightarrow t^2 + t - 2 = 0
Resolvendo a equação quadrática,
t = 1 ou t = -2
Os pontos de interseção são
para t=1:
(1,1,-3),
e para t=-2:
(-2,4,6)

Passo 3

O vetor tangente à curva é dado por
r'(t) =ddtl(t,;t^2,;-3tr) =(1,;2t,;-3)
Nos dois valores de t obtemos:
para t=1,
v1=r'(1) = (1,,2,,-3),
e para t=-2,
v2=r'(-2) = (1,,-4,,-3)

Passo 4

A normal do plano é
n = (2,-1,1)
O ângulo agudo theta entre a reta tangente (vetor v) e a reta normal (vetor n) satisfaz
costheta = l|vcdotnr||v|;|n|

Passo 5

Calculamos produto escalar e normas:
Para v1=(1,2,-3):
v1cdotn =1cdot2 + 2cdot(-1) + (-3)cdot1 = -3,
|v1| = raiz1^2+2^2+(-3)^2 = raiz14, |n| = raiz2^2+(-1)^2+1^2 = raiz6
Logo
costheta1 = |-3|raiz14,raiz6 = 3raiz84 = 32raiz21,
theta1 = arccos!l(tfrac32raiz21r)
Para v2=(1,-4,-3):
v2cdotn =1cdot2 + (-4)cdot(-1) + (-3)cdot1 = 3,
|v2| = raiz1^2+(-4)^2+(-3)^2 = raiz26,
costheta2 = |3|raiz26,raiz6 = 3raiz156 = 32raiz39,
theta2 = arccos!l(tfrac32raiz39r)

Resposta

(a) Os pontos de interseção são (1,1,-3) e (-2,4,6).
(b) Os ângulos agudos são
theta1 = arccos!l(tfrac32raiz21r), theta2 = arccos!l(tfrac32raiz39r)

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