intersecta o plano
(b) Para a curva e o plano da parte (a), determine, em radianos, o ângulo agudo que a reta tangente à curva faz com a reta normal ao plano em cada ponto de interseção.
Passo 1
O enunciado dá a curva parametrizada
e o plano de equação
Na parte (a) vamos achar os valores de para os quais satisfaz a equação do plano. Na parte (b) vamos calcular a reta tangente à curva, determinar seu vetor diretor, e encontrar o ângulo agudo entre esse vetor e a normal do plano .
Passo 2
Para achar a interseção, substituímos , e na equação do plano:
Isso dá
Resolvendo a equação quadrática,
Os pontos de interseção são
para :
e para :
Passo 3
O vetor tangente à curva é dado por
Nos dois valores de obtemos:
para ,
e para ,
Passo 4
A normal do plano é
O ângulo agudo entre a reta tangente (vetor ) e a reta normal (vetor ) satisfaz