Questão 5.1)
Encontre a solução geral da edo dada, ou se for o caso, resolva o pvi dado:
.
Encontre a solução geral da edo dada, ou se for o caso, resolva o pvi dado:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
e pede a solução geral. O conteúdo envolvido é a técnica de redução por substituição para equações do tipo de Bernoulli. Vamos usar a mudança de variável
de modo a transformar a EDO num problema linear em
.
Passo 2
Fazendo
, temos
Substituindo na EDO original:
Dividindo tudo por
:
Passo 3
Como
na transformação (excepto a solução trivial
), podemos simplificar um fator
, obtendo
Esta é uma EDO linear de primeira ordem em
.
Passo 4
Vamos resolver
por fator integrante. O fator integrante é
Multiplicando a EDO por
:
ou seja
Integramos em
:
onde
é constante arbitrária.
Passo 5
Isolando
e voltando a
:
Além disso, há a solução singular
, que corresponde ao caso
.
Resposta
A solução geral da EDO é
onde
é constante arbitrária, mais a solução singular