Questão 5.1)
Encontre a solução geral da edo dada, ou se for o caso, resolva o pvi dado:
y^prime-2 x y=4 x y^1 / 2.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
y' - 2x,y = 4x,y^1/2
e pede a solução geral. O conteúdo envolvido é a técnica de redução por substituição para equações do tipo de Bernoulli. Vamos usar a mudança de variável
z = y^1/2,
de modo a transformar a EDO num problema linear em z.

Passo 2

Fazendo y = z^2, temos
y' = ddx(z^2) = 2,z,dzdx = 2,z,z'
Substituindo na EDO original:
2,z,z' - 2x,z^2 = 4x,z
Dividindo tudo por 2:
z,z' - x,z^2 = 2x,z

Passo 3

Como zneq0 na transformação (excepto a solução trivial y=0), podemos simplificar um fator z, obtendo
z' - x,z = 2x
Esta é uma EDO linear de primeira ordem em z(x).

Passo 4

Vamos resolver
z' - x,z = 2x
por fator integrante. O fator integrante é
mu(x) = expl(-!!integral x,dxr) = expl(-tfracx^22r)
Multiplicando a EDO por mu(x):
expl(-tfracx^22r),z' ;-; x,expl(-tfracx^22r),z = 2x,expl(-tfracx^22r),
ou seja
ddxl(z,e^-tfracx^22r) = 2x,e^-tfracx^22
Integramos em x:
z,e^-tfracx^22 = integral 2x,e^-tfracx^22,dx = -2,e^-tfracx^22 + C,
onde C é constante arbitrária.

Passo 5

Isolando z e voltando a y:
z = -2 + C,e^tfracx^22,
y = z^2 = l(C,e^tfracx^22 - 2r)^2
Além disso, há a solução singular yequiv0, que corresponde ao caso z=0.

Resposta

A solução geral da EDO é
y(x) = l(C,e^tfracx^22 - 2r)^2,
onde C é constante arbitrária, mais a solução singular
y(x) equiv 0

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