Determine se os pontos dados abaixo são internos ou externos à superfície esférica dada pela equação x^2-2 x+y^2+4 y+z^2-4 z-2=0,
P(1,-2,3)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o ponto P(1,−2,3) fica dentro ou fora da superfície esférica dada pela equação geral de segundo grau em x, y e z. Vamos usar o método de completar quadrados para identificar centro e raio da esfera e então comparar com a distância de P ao centro.

Passo 2

Escrevendo a equação dada e completando quadrados em cada variável temos:
x^2-2x+y^2+4y+z^2-4z-2=0
Separando e completando quadrados:
x^2-2x=(x-1)^2-1
y^2+4y=(y+2)^2-4
z^2-4z=(z-2)^2-4
Substituindo na equação original:
(x-1)^2-1+(y+2)^2-4+(z-2)^2-4-2=0
Somando constantes e isolando os quadrados:
(x-1)^2+(y+2)^2+(z-2)^2=1+4+4+2=11

Passo 3

Logo, a esfera tem centro C(1,−2,2) e raio r= raiz11.

Passo 4

Agora calculamos a distância de P a C usando a fórmula da distância no espaço:
d(P,C)=raiz(1-1)^2+(-2-(-2))^2+(3-2)^2=raiz0+0+1=1

Passo 5

Como d(P,C)=1 é menor que r= raiz11 (que vale aproximadamente 3,316), concluímos que P está dentro da esfera.

Resposta

O ponto P(1,−2,3) é interno à superfície esférica.

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