Determine se os pontos dados abaixo são internos ou externos à superfície esférica dada pela equação
,
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o ponto P(1,−2,3) fica dentro ou fora da superfície esférica dada pela equação geral de segundo grau em x, y e z. Vamos usar o método de completar quadrados para identificar centro e raio da esfera e então comparar com a distância de P ao centro.
Passo 2
Escrevendo a equação dada e completando quadrados em cada variável temos:
Separando e completando quadrados:
Substituindo na equação original:
Somando constantes e isolando os quadrados:
Passo 3
Logo, a esfera tem centro C(1,−2,2) e raio r=
.
Passo 4
Agora calculamos a distância de P a C usando a fórmula da distância no espaço:
Passo 5
Como d(P,C)=1 é menor que r=
(que vale aproximadamente 3,316), concluímos que P está dentro da esfera.
Resposta
O ponto P(1,−2,3) é interno à superfície esférica.