Obter a forma paramétrica vetorial, representação por vetor normal e equação geral do plano determinado pelos pontos (1,1,-1),(2,1,3) e (1,4,-1)

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano que passa pelos pontos P=(1,1,−1), Q=(2,1,3) e R=(1,4,−1); vamos usar geometria analítica em R³: forma paramétrica, representação com vetor normal e equação geral.

Passo 2

Para achar a forma paramétrica, primeiro determinamos dois vetores diretores do plano, subtraindo coordenadas: u = Q − P e v = R − P. Assim,
$$u = (2-1,;1-1,;3-(-1)) = (1,0,4),\
v = (1-1,;4-1,;-1-(-1)) = (0,3,0).$$

Passo 3

Com um ponto de apoio P=(1,1,−1) e os vetores u e v, a forma paramétrica vetorial é
vec r(s,t) = OP + s,u + t,v = (1,1,-1) + s(1,0,4) + t(0,3,0),

Passo 4

Para a representação por vetor normal, calculamos n = u \times v:
n = (1,0,4) times (0,3,0) = (-12,0,3)

Passo 5

Podemos simplificar n dividindo por 3: n = (-4,0,1). A forma vetorial com normal fica n \cdot (,(x,y,z) - (1,1,-1),) = 0.

Passo 6

Fechando em equação geral, expandimos
-4(x-1) + 0,(y-1) + 1(z+1) = 0 implies -4x +4 + z +1 = 0 implies 4x - z -5 = 0

Resposta

Forma paramétrica vetorial: vec r(s,t) = (1,1,-1) + s(1,0,4) + t(0,3,0)
Vetor normal: vec n = (-4,0,1)
Equação geral: 4x - z - 5 = 0

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