Verifique quais afirmações são falsas e quais são verdadeiras. No caso verdadeiro apresente uma justificativa e no falso, um contra-exemplo.
Sejam
um espaço vetorial,
e o conjunto
Então,
também é subespaço vetorial.
Sejam
Passo 1
O enunciado afirma que, dado um espaço vetorial
e dois subespaços
, o conjunto
é também um subespaço vetorial de
. Vamos usar a definição de subespaço (não vazio, fechado sob soma e multiplicação escalar) para demonstrar.
Passo 2
Primeiro, observamos que
e
pois ambos são subespaços. Logo,
, mostrando que
não é vazio.
Passo 3
Sejam
e
elementos quaisquer de
, com
e
. Então
Como
e
são subespaços, temos
e
. Portanto a soma pertence a
, provando o fechamento para adição.
Passo 4
Para fechar sob multiplicação escalar, seja
(campo) e
. Então
Como
e
são subespaços,
e
. Logo
, mostrando fechamento para escalar.
Passo 5
Tendo verificado que
é não vazio, fechado sob soma e sob multiplicação escalar, concluímos que
é de fato um subespaço vetorial de
.
Resposta
Verdadeiro