Verifique quais afirmações são falsas e quais são verdadeiras. No caso verdadeiro apresente uma justificativa e no falso, um contra-exemplo.
Sejam V um espaço vetorial, U, W subset V e o conjunto
S=U+W=w=x+y ; x in U e y in W
Então, S também é subespaço vetorial.

Passo 1

O enunciado afirma que, dado um espaço vetorial V e dois subespaços U, W subset V, o conjunto S = U + W = x + y; x in U,; y in W é também um subespaço vetorial de V. Vamos usar a definição de subespaço (não vazio, fechado sob soma e multiplicação escalar) para demonstrar.

Passo 2

Primeiro, observamos que 0V in U e 0V in W pois ambos são subespaços. Logo, 0V = 0V + 0V in S, mostrando que S não é vazio.

Passo 3

Sejam u1+ w1 e u2+ w2 elementos quaisquer de S, com u1,u2 in U e w1,w2 in W. Então
(u1 + w1) + (u2 + w2) = (u1 + u2) + (w1 + w2)
Como U e W são subespaços, temos u1 + u2 in U e w1 + w2 in W. Portanto a soma pertence a S, provando o fechamento para adição.

Passo 4

Para fechar sob multiplicação escalar, seja alpha in K (campo) e u + w in S. Então
alpha(u + w) = (alpha u) + (alpha w)
Como U e W são subespaços, alpha u in U e alpha w in W. Logo alpha(u+w) in S, mostrando fechamento para escalar.

Passo 5

Tendo verificado que S é não vazio, fechado sob soma e sob multiplicação escalar, concluímos que S é de fato um subespaço vetorial de V.

Resposta

Verdadeiro

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