Determine se os pontos dados abaixo são internos ou externos à superfície esférica dada pela equação x^2-2 x+y^2+4 y+z^2-4 z-2=0,
Q(2,0,2)

Passo 1

O enunciado pede para determinar se o ponto Q(2,0,2) é interno ou externo à esfera dada pela equação da forma geral. O conteúdo envolve geometria analítica de esferas: precisamos completar quadrados para achar centro e raio e depois comparar a distância do ponto ao centro com o raio.

Passo 2

Vamos reescrever a equação da esfera completando quadrados em x, y e z. Começamos com
x^2-2x + y^2+4y + z^2-4z -2 = 0
Para x: x^2-2x = (x-1)^2-1. Para y: y^2+4y = (y+2)^2-4. Para z: z^2-4z = (z-2)^2-4. Substituindo:
Agora a equação vira
(x-1)^2-1 + (y+2)^2-4 + (z-2)^2-4 -2 = 0
Somando os termos constantes: -1-4-4-2 = -11. Logo
(x-1)^2 + (y+2)^2 + (z-2)^2 -11 = 0 Longrightarrow (x-1)^2 + (y+2)^2 + (z-2)^2 = 11
Isso mostra que o centro é C(1,-2,2) e o raio é r = raiz11.

Passo 3

Calculamos agora a distância de Q(2,0,2) ao centro C(1,-2,2). O vetor CQ = (2-1,0-(-2),2-2) = (1,2,0) tem norma
d = |CQ| = raiz1^2 + 2^2 + 0^2 = raiz5

Passo 4

Comparamos d com r: como d = raiz5 e r = raiz11, temos raiz5 < raiz11. Isso significa que Q fica dentro da esfera.
Portanto, o ponto Q(2,0,2) é interno à superfície esférica.

Resposta

O ponto Q(2,0,2) é interno à esfera.

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