Determine se os pontos dados abaixo são internos ou externos à superfície esférica dada pela equação ,
Passo 1
O enunciado pede para determinar se o ponto Q(2,0,2) é interno ou externo à esfera dada pela equação da forma geral. O conteúdo envolve geometria analítica de esferas: precisamos completar quadrados para achar centro e raio e depois comparar a distância do ponto ao centro com o raio.
Passo 2
Vamos reescrever a equação da esfera completando quadrados em x, y e z. Começamos com
Para x: . Para y: . Para z: . Substituindo:
Agora a equação vira
Somando os termos constantes: . Logo
Isso mostra que o centro é e o raio é .
Passo 3
Calculamos agora a distância de Q(2,0,2) ao centro C(1,-2,2). O vetor tem norma
d = |CQ| = raiz1^2 + 2^2 + 0^2 = raiz5
Passo 4
Comparamos d com r: como d = raiz5 e r = raiz11, temos raiz5 < raiz11. Isso significa que Q fica dentro da esfera.
Portanto, o ponto Q(2,0,2) é interno à superfície esférica.