Determine se os pontos dados abaixo são internos ou externos à superfície esférica dada pela equação
,
Passo 1
A questão pede pra gente descobrir se o ponto R(3, −1, 5) está dentro ou fora da esfera dada pela equação x²−2x+y²+4y+z²−4z−2=0. O conteúdo envolvido é geometria analítica em 3D, mais especificamente como achar o centro e raio de uma esfera completando quadrados.
Passo 2
Primeiro a gente vai completar o quadrado em cada variável para escrever a equação na forma padrão. Reescrevendo e agrupando:
Em seguida, complete o quadrado em x, y e z:
Passo 3
Somando tudo na equação original e recolhendo os termos constantes, a gente obtém:
Logo:
Passo 4
Agora identificamos o centro e o raio da esfera. Comparando com
, vemos que
e
Passo 5
Para saber se R(3,−1,5) fica dentro ou fora, calculamos a distância ao quadrado de R até o centro C(1,−2,2):
Passo 6
Como a condição para estar dentro é
(e fora se
), comparamos
Como
Resposta
O ponto R(3,−1,5) é externo à esfera.