Determine se os pontos dados abaixo são internos ou externos à superfície esférica dada pela equação x^2-2 x+y^2+4 y+z^2-4 z-2=0,
R(3,-1,5)

Passo 1

A questão pede pra gente descobrir se o ponto R(3, −1, 5) está dentro ou fora da esfera dada pela equação x²−2x+y²+4y+z²−4z−2=0. O conteúdo envolvido é geometria analítica em 3D, mais especificamente como achar o centro e raio de uma esfera completando quadrados.

Passo 2

Primeiro a gente vai completar o quadrado em cada variável para escrever a equação na forma padrão. Reescrevendo e agrupando:
x^2-2x+y^2+4y+z^2-4z-2=0
Em seguida, complete o quadrado em x, y e z:
x^2-2x=(x-1)^2-1,
y^2+4y=(y+2)^2-4,
z^2-4z=(z-2)^2-4

Passo 3

Somando tudo na equação original e recolhendo os termos constantes, a gente obtém:
(x-1)^2-1+(y+2)^2-4+(z-2)^2-4-2=0
Logo:
(x-1)^2+(y+2)^2+(z-2)^2=11

Passo 4

Agora identificamos o centro e o raio da esfera. Comparando com (x-x0)^2+(y-y0)^2+(z-z0)^2=r^2, vemos que
x0=1, y0=-2, z0=2
e
r=raiz11

Passo 5

Para saber se R(3,−1,5) fica dentro ou fora, calculamos a distância ao quadrado de R até o centro C(1,−2,2):
d^2=(3-1)^2+(-1+2)^2+(5-2)^2=2^2+1^2+3^2=4+1+9=14

Passo 6

Como a condição para estar dentro é d^2 (e fora se d^2>r^2), comparamos
d^2=14 com
r^2=11
Como 14>11, concluímos que R está fora da esfera.

Resposta

O ponto R(3,−1,5) é externo à esfera.

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