Justifique porque (x, y, z)=(1,2,0)+lambda(2,-4,6)+mu(-3,6,-9) é uma reta e encontre a forma implícita.

Passo 1

O enunciado pede para justificar que a representação
(x,y,z)=(1,2,0)+lambda(2,-4,6)+mu(-3,6,-9)
é de fato uma reta em R^3 e, em seguida, encontrar a forma implícita dessa reta. Vamos usar conceitos de vetores diretores e eliminação de parâmetros.

Passo 2

Precisamos verificar se os dois vetores
(2,-4,6)e(-3,6,-9)
que aparecem como diretores são colineares. Para isso, checamos se existe kin R tal que
(-3,6,-9)=k(2,-4,6)
Comparando componente a componente, temos:
-3=2k, 6=-4k, -9=6k
Da primeira equação k=-3/2. Substituindo nas outras vemos que elas são satisfeitas, logo os vetores são múltiplos um do outro e geram uma única direção.

Passo 3

Como os vetores diretores são colineares, podemos reparametrizar com um único parâmetro t. Tomando
t=lambda-tfrac32mu,
fica
(x,y,z)=(1,2,0)+t(2,-4,6),
o que mostra que a curva é uma reta de ponto (1,2,0) e vetor diretor (2,-4,6).

Passo 4

Para obter a forma implícita, escrevemos as coordenadas:
x=1+2t, y=2-4t, z=6t
Eliminamos t via
t=x-12, t=2-y4, t=z6
Igualamos pares destes para obter duas equações lineares em x,y,z:
x-12=2-y4implies 4(x-1)=2(2-y)implies 4x+2y-8=0implies 2x+y-4=0,
$$\frac{x-1}{2}=\frac{z}{6}\implies 6(x-1)=2z\implies 6x-6-2z=0\
\implies 3x-z-3=0.$$

Passo 5

Portanto a curva é a interseção dos dois planos
2x+y-4=0e3x-z-3=0,
o que caracteriza uma reta em R^3.

Resposta

A forma implícita da reta é o sistema
[
2x+y-4=0, 3x-z-3=0

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