Determine as pontos de descontinuidade das funçoes abaixo:
f(x)=l x sin 1x, x neq 0 0, x=0

Passo 1

Temos a função por partes
f(x)=xsin1x,&xneq00,&x=0
O conteúdo aqui é continuidade de funções, e vamos precisar da definição de limite e do Teorema do Aperto (squeeze theorem).

Passo 2

Para todo ponto xneq0, a função xmapsto x e xmapsto sin(1/x) são contínuas onde estão definidas. O produto dessas funções também é contínuo, logo f(x)=xsin(1/x) é contínua em todo xneq0.

Passo 3

Agora focamos em x=0. Precisamos calcular
limxto0xsin1x
Sabemos que |sin(1/x)|<=1 para todo x. Multiplicando por |x| obtemos
-|x|<= xsin1x<=|x|
Pelo Teorema do Aperto, como limxto0-|x|=0 e limxto0|x|=0, concluímos que
limxto0xsin1x=0

Passo 4

Como f(0)=0 por definição e o limite em 0 também é 0, a função é contínua em x=0. Portanto, juntando os dois casos, f é contínua em todo R.

Resposta

Não há pontos de descontinuidade; a função é contínua em todo R.

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