Os Problemas 19-24 tratam das raízes da unidade.
Para um dado
, se tomarmos
no Problema 19(a), obtemos a raiz
Explique por que as
raízes
-ésimas da unidade podem, então, ser escritas como
Para um dado
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, tomando-se
, as todas as soluções de
são exatamente
. O conteúdo é raízes da unidade e vamos usar a fórmula de De Moivre.
Passo 2
Pelo Teorema de De Moivre, qualquer número complexo na forma trigonométrica
elevado à potência
vale
. Aqui queremos
, ou seja,
para
. Observando que para
temos exatamente
, fica claro que para cada
a raiz correspondente é
mostrando que todas as raízes podem ser escritas como potências de
.
Como e
, os expoentes se repetem ciclicamente a cada
. Logo, os valores
geram exatamente as
raízes distintas de
.
Como
Resposta
As raízes
-ésimas da unidade são