Os Problemas 19-24 tratam das raízes da unidade.
Para um dado n, se tomarmos k=1 no Problema 19(a), obtemos a raiz
wn=cos 2 pin+i sen 2 pin
Explique por que as n raízes n-ésimas da unidade podem, então, ser escritas como
1, wn, wn^2, wn^3, ldots, wn^n-1

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, tomando-se wn=cos2pin+isin2pin, as todas as soluções de z^n=1 são exatamente 1,wn,wn^2,dots,wn^n-1. O conteúdo é raízes da unidade e vamos usar a fórmula de De Moivre.

Passo 2

Pelo Teorema de De Moivre, qualquer número complexo na forma trigonométrica costheta+isintheta elevado à potência k vale cos(ktheta)+isin(ktheta). Aqui queremos z^n=1, ou seja, z=cos2pi kn+isin2pi kn para k=0,1,2,dots. Observando que para k=1 temos exatamente wn=cos2pin+isin2pin, fica claro que para cada k a raiz correspondente é
zk=cos2pi kn+isin2pi kn=(wn)^k,
mostrando que todas as raízes podem ser escritas como potências de wn.
Como wn^0=1 e wn^n=cos2pi+isin2pi=1, os expoentes se repetem ciclicamente a cada n. Logo, os valores k=0,1,2,dots,n-1 geram exatamente as n raízes distintas de z^n=1.

Resposta

As raízes n-ésimas da unidade são
1,;wn,;wn^2,;wn^3,;ldots,;wn^n-1

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