Verifique se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente, justificando sua resposta:
sumn=1^infty e^1nn^n

Passo 1

Temos a série sumn=1^infty e^1/nn^n. O conteúdo é convergência de séries numéricas e vamos usar o teste da raiz de Cauchy.

Passo 2

Definindo an = e^1/nn^n, calculamos a raiz enésima de an:
raiz[n]an = (e^1/n)^1/nn = e^1/n^2n
Para n to infty, temos e^1/n^2 to 1, logo
limntoinfty raiz[n]an = limntoinfty 1n = 0

Passo 3

Como o limite obtido é menor que 1, isto é, 0<1, pelo teste da raiz a série converge absolutamente e, portanto, converge.

Resposta

A série é convergente (convergência absoluta pelo teste da raiz de Cauchy, com limntoinftyraiz[n]an=0<1).

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