Determine em que pontos de seus domínios as funções f abaixo são contínuas, justificando a resposta:
f(x)=x^5-4 x^2+1x^2+2, x in R

Passo 1

O enunciado pede para determinar onde a função
f(x) = x^5 - 4x^2 + 1x^2 + 2, xinR
é contínua. O conteúdo que vamos usar é: (1) toda função polinomial é contínua em R e (2) o quociente de duas funções contínuas é contínuo nos pontos em que o denominador é diferente de zero.

Passo 2

Definimos
P(x) = x^5 - 4x^2 + 1 e Q(x) = x^2 + 2
Como P e Q são polinômios, concluímos que ambos são contínuos em R.

Passo 3

Observamos que
Q(x) = x^2 + 2 >= 2 > 0 para todo xinR,
logo Q(x)neq 0 em nenhum ponto. Assim, o domínio de f é todo R. Pelo fato de P e Q serem contínuos em R e Q(x) nunca se anular, o quociente
P(x)Q(x)
é contínuo em todo o seu domínio, isto é, em R.

Resposta

A função f é contínua em todos os pontos de R.

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