Determine em que pontos de seus domínios as funções abaixo são contínuas, justificando a resposta:
Passo 1
Temos a função
f(x)= x^2-a^2x+a, & xneq a,[6pt] 2a, & x=a,
com parâmetro ainR. Queremos achar os pontos do domínio onde f é contínua. Para isso vamos (i) identificar o domínio, (ii) usar que função racional é contínua onde definida, e (iii) checar a continuidade em x=a.]
Passo 2
A parte racional
x^2-a^2x+a
só faz sentido se o denominador x+aneq0, ou seja xneq -a. Além disso essa parte vale apenas para xneq a. Por outro lado, definimos f(a)=2a.
Logo o domínio de f é
,xinRmid xneq -a,
pois em x=-a a fração não está definida, e em x=a usamos a definição f(a)=2a.
Passo 3
Se xneq a e xneq -a, então podemos fatorar
x^2-a^2x+a =(x-a)(x+a)x+a=x-a,
portanto nessa parte do domínio f(x)=x-a, uma função polinomial e, portanto, contínua em todo ponto onde está definida (isto é, para todo xneq -a e xneq a).
Passo 4
Só resta verificar a continuidade em x=a. Precisamos ver se
limxto af(x)=f(a)
Como para xneq a temos f(x)=tfracx^2-a^2x+a=x-a,
limxto af(x) =limxto a(x-a) =0
Por outro lado f(a)=2a. Logo a igualdade limxto af(x)=f(a) ocorre exatamente quando
0=2a Long<=ftrightarrow a=0
Resposta
Para qualquer aneq0, f é contínua em todo o seu domínio salvo em x=a.
Se a=0, então f(x)=x em R e é contínua em todos os pontos.