Determine em que pontos de seus domínios as funções f abaixo são contínuas, justificando a resposta:
f(x)=raizx^2-1, x in(-infty,-1] cup[1,+infty)

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=raizx^2-1
com domínio
D =(-infty,-1]cup[1,+infty)
Queremos determinar em quais pontos de D a função é contínua. O conteúdo envolvido é continuidade de composição de funções (polinômio e raiz quadrada).

Passo 2

Identificamos o domínio usando a condição de existência da raiz: o radicando deve ser não-negativo, ou seja
x^2-1>=0 Long<=ftrightarrow x<=-1 ou x>=1,
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D =(-infty,-1]cup[1,infty)

Passo 3

Sabemos que a função
g(x)=x^2-1
é um polinômio e, portanto, é contínua em todo R. Também sabemos que
h(u)=raizu
é contínua para u>=0.

Passo 4

A função f é a composição f(x)=hl(g(x)r). Pela propriedade de continuidade de composições, f é contínua em todos os x tais que g(x)>=0, ou seja, em todo o domínio D.

Passo 5

Só resta checar os extremos do domínio:
  • Em x=-1: o único limite possível é o limite pela direita. limxto(-1)^+f(x) =limxto(-1)^+raizx^2-1 =raiz(-1)^2-1=0 =f(-1)
  • Em x=1: o único limite possível é o limite pela esquerda. limxto1^-f(x) =raiz1^2-1=0 =f(1)
Portanto f é também contínua em -1 e em 1.

Resposta

A função f(x)=raizx^2-1 é contínua em todos os pontos de seu domínio
(-infty,-1]cup[1,infty)

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