Seja
(a) Mostre que
(b) Mostre que não é contínua em

Passo 1

O enunciado define a função
Pede-se: (a) mostrar que e (b) mostrar que não é contínua em . Vamos usar a definição de continuidade (epsilon–delta) e o fato de que função constante é contínua, além de analisar limites laterais em .

Passo 2

Compute
Logo , ou seja, é a função constante . Qualquer função constante é contínua em todo domínio, pois para dado basta escolher qualquer para garantir

Passo 3

Agora, para verificar continuidade de f em pontos x0neq0, note que se x0<0 então existe de<a>0 tal que (x0-de<a,x0+de<a)subset(-infty,0), e aí f(x)=-1=f(x0) nesse intervalo, provando continuidade em x0<0. De forma análoga, se x0>0 escolhemos de<a>0 com (x0-de<a,x0+de<a)subset(0,infty), garantindo f(x)=1=f(x0) e, portanto, continuidade em x0>0.

Passo 4

Falta agora analisar x0=0. Calculamos os limites laterais:
limxto0^-f(x)=-1, limxto0^+f(x)=1,
que são diferentes. Como o limite limxto0f(x) não existe, f não é contínua em x=0. Logo f não é contínua em todo R.

Resposta

(a) lvert frvert é contínua em R
(b) f não é contínua em R (discontinuidade em x=0)

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