Determine em que pontos de seus domínios as funções

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)= dfracraiz[3]x-raiz[3]2x-2,&xin[0,+infty)setminus2, 4raiz[3]8,&x=2,
e pede em quais pontos de [0,+infty) ela é contínua. Vamos usar que composições e quocientes de funções contínuas (com denominador não nulo) são contínuos, e estudar especialmente o ponto x=2 pelo limite.

Passo 2

Se xneq2, então raiz[3]x e a função identidade x são contínuas e x-2neq0. Logo
xmapstoraiz[3]x-raiz[3]2x-2
é quociente de funções contínuas com denominador não nulo, portanto f é contínua em todo xin[0,+infty)setminus2.

Passo 3

Para ver se f é contínua em x=2, calculamos
limxto2raiz[3]x-raiz[3]2x-2
Racionalizamos a diferença de cubos: se a=raiz[3]x e b=raiz[3]2, então a^3-b^3=x-2 e
a-bx-2 =a-ba^3-b^3 =1a^2+ab+b^2 =1raiz[3]x^2+raiz[3]2x+raiz[3]4
Assim
limxto2f(x) =limxto21raiz[3]x^2+raiz[3]2x+raiz[3]4 =1raiz[3]2^2+raiz[3]2cdot2+raiz[3]4 =13cdot2^2/3

Passo 4

Como f(2)=4raiz[3]8=4cdot2=8 e
limxto2f(x)=13cdot2^2/3neq8,
não há continuidade em x=2.

Resposta

A função f é contínua em todo ponto de [0,+infty) exceto em x=2.

Exercícios relacionados