1. Determine os pontos que estão mais próximos e mais longe da origem para:
  • a elipse: formada pelo interseção do plano x+y+2 z=2 com o paraboloide z=x^{2}+y^{2}.
  • a curva: formada pela interseção do cilindro x^{2}+y^{2}=2 x e o plano x+2 y+z=4.
  • os pontos do espaço \mathbb{R}^{3} tais que: x^{2}+y^{2}=4 e x+y+z=1.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e todas as informações dadas (cada item eu pego do enunciado).
  • Item (a) — elipse:
    • A curva é a interseção do plano \;x+y+2z=2\; com o paraboloide \;z=x^{2}+y^{2}.
    • Pede: determinar os pontos dessa curva que estão mais próximos e mais longe da origem.
  • Item (b) — curva no cilindro:
    • A curva é a interseção do cilindro \;x^{2}+y^{2}=2x\; com o plano \;x+2y+z=4.
    • Pede: determinar os pontos dessa curva que estão mais próximos e mais longe da origem.
  • Item (c) — conjunto no espaço:
    • Os pontos satisfazem \;x^{2}+y^{2}=4\; e \;x+y+z=1.
    • Pede: determinar os pontos (daquele conjunto) que estão mais próximos e mais longe da origem.
Para todos os itens vamos medir distância pela distância euclidiana ao quadrado, que é mais simples de otimizar:
\text{seja }F(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}.
Minimizar/maximizar F equivale a minimizar/maximizar a distância (a raiz quadrada é monotônica). A resolução começa agora.

Passo 2

Conceito-ferramenta (rápida aula): multiplicadores de Lagrange para otimização com restrições.
  • Se queremos otimizar F(x,y,z) sujeito a uma restrição g(x,y,z)=0, procuramos pontos em que \nabla F=\lambda \nabla g.
  • Se há duas restrições g(x,y,z)=0 e h(x,y,z)=0, usamos dois multiplicadores e procuramos \nabla F=\lambda \nabla g+\mu \nabla h junto com g=0,h=0.
    Isto é porque em um ponto de extremo restrito o gradiente de F precisa estar no espaço gerado pelos gradientes das restrições (ortogonal ao espaço tangente à variedade das restrições).
Vou aplicar isso no item (a) (duas restrições) e no item (b) farei uma redução/prametrização (pois o cilindro é um círculo no plano z-livre) — explicarei por que escolhi cada método.

Passo 3

Item (a) — montar o sistema (Lagrange com duas restrições).
  • Função a otimizar:
F(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}.
  • Restrições (peguei do enunciado):
g(x,y,z)=x+y+2z-2=0, \qquad h(x,y,z)=x^{2}+y^{2}-z=0.
  • Gradientes:
\nabla F=(2x,2y,2z), \quad \nabla g=(1,1,2), \quad \nabla h=(2x,2y,-1).
  • Equações de Lagrange ( \nabla F=\lambda \nabla g+\mu \nabla h):
\begin{cases} 2x=\lambda\cdot 1 + \mu\cdot 2x,\\[4pt] 2y=\lambda\cdot 1 + \mu\cdot 2y,\\[4pt] 2z=\lambda\cdot 2 + \mu\cdot(-1), \end{cases}
juntamente com as restrições
x+y+2z=2,\qquad x^{2}+y^{2}-z=0.]

Passo 4

Resolver o sistema do item (a) — passo a passo e explicando cada linha.
Das duas primeiras equações de Lagrange:
2x=\lambda+2\mu x,\qquad 2y=\lambda+2\mu y.
Subtraindo as duas:
2x-2y=2\mu(x-y)\quad\Longrightarrow\quad 2(x-y)=2\mu(x-y).
Portanto ou \;x=y\; ou \;\mu=1.
  • Caso \mu=1. Então, pela terceira equação:
2z = 2\lambda -1 \quad\Rightarrow\quad \lambda = \frac{2z+1}{2}.
Mas se \mu=1 então das primeiras equações 2x=\lambda+2x implica \lambda=0. Comparando \lambda=0 e \lambda=(2z+1)/2 2z+1=0\Rightarrow z=-\tfrac12. Isso contradiz a restrição x^{2}+y^{2}-z=0 porque x^{2}+y^{2}=-\tfrac12 é impossível. Logo \mu=1 não gera solução real.
  • Logo devemos ter x=y. Substituindo y=x na restrição h:
z = x^{2}+y^{2}=2x^{2}.
Substituindo na restrição do plano g:
x+x+2(2x^{2})=2 \quad\Longrightarrow\quad 2x+4x^{2}=2.
Dividindo por 2:
x+2x^{2}=1 \quad\Longrightarrow\quad 2x^{2}+x-1=0.
Resolver a quadrática:
\Delta=1+8=9,\qquad x=\frac{-1\pm 3}{4}.
Assim
x=\frac{1}{2}\quad\text{ou}\quad x=-1.
Como y=x, obtemos os dois pontos (peguei z pela fórmula z=2x^{2}):
  • Para x=\tfrac12: y=\tfrac12, z=2(\tfrac12)^{2}=\tfrac12. Ponto P_1=\big(\tfrac12,\tfrac12,\tfrac12\big).
  • Para x=-1: y=-1, z=2\cdot 1 =2. Ponto P_2=(-1,-1,2).

Passo 5

Classificar min/max para o item (a) — comparar distâncias.
Calcular F (distância ao quadrado) em cada ponto:
F\big(\tfrac12,\tfrac12,\tfrac12\big)=\tfrac14+\tfrac14+\tfrac14=\tfrac34.
F(-1,-1,2)=1+1+4=6.
A curva de interseção do plano com o paraboloide é uma elipse fechada e compacta, logo F atinge mínimo e máximo; portanto:
  • ponto mais próximo da origem: P_1=\big(\tfrac12,\tfrac12,\tfrac12\big) (distância \sqrt{3}/2);
  • ponto mais longe da origem: P_2=(-1,-1,2) (distância \sqrt{6}).

Passo 6

Item (b) — abordagem e redução: parametrização do círculo do cilindro.
O cilindro dado é \;x^{2}+y^{2}=2x. Reescrevendo:
x^{2}-2x+y^{2}=0 \quad\Longrightarrow\quad (x-1)^{2}+y^{2}=1.
Isto é um círculo de raio 1 centrado em (1,0) no plano z livre. É conveniente parametrizar:
x=1+\cos t,\qquad y=\sin t,\qquad t\in[0,2\pi).
A equação do plano dá z em função de t:
z = 4 - x - 2y = 4 - (1+\cos t) - 2\sin t = 3 - \cos t - 2\sin t.
Assim os pontos da curva são
r(t)=\big(1+\cos t,\; \sin t,\; 3-\cos t-2\sin t\big).
Agora queremos minimizar/maximizar F(r(t)), sendo função de t:
D(t)=F(r(t))=x^{2}+y^{2}+z^{2}.
Observação útil (pegada do enunciado): pela equação do cilindro temos x^{2}+y^{2}=2x, então ao calcular D podemos usar x^{2}+y^{2}=2(1+\cos t)=2+2\cos t — reduz trabalho.

Passo 7

Derivar D(t) e condição de extremo (explicando a ideia).
  • Expressão:
D(t)=2+2\cos t + \big(3-\cos t-2\sin t\big)^{2}.
  • Extremos em curvas parametricas ocorrem quando D'(t)=0. Outra interpretação geométrica (útil de aprender): D'(t)=2\, r(t)\cdot r'(t), então extremos acontecem quando r(t) é ortogonal a r'(t) (o vetor posição é perpendicular à velocidade).
Vou simplificar e escrever a condição explícita (mostrando como derivar sem pular passos). Diferenciando:
D'(t) = -2\sin t + 2\big(3-\cos t-2\sin t\big)\cdot(\sin t -2\cos t).
(Isto vem do produto e da cadeia; se quiser, pode expandir o quadrado e derivar termo a termo.)
A equação D'(t)=0 é não-linear; procedemos encontrando suas raízes no intervalo [0,2\pi). Uma das raízes é imediata por simetria: t=\tfrac{\pi}{2} (vou mostrar porque e avaliar). Para as demais raízes aplicamos uma busca numérica controlada (padrão aceitável em provas quando surgem equações trigonométricas sem fatoração óbvia). Vou explicar e mostrar os valores obtidos com quatro casas decimais.

Passo 8

Encontrar as raízes e avaliar pontos (item b) — cálculo e interpretação.
Verificação direta:
  • Para t=\tfrac{\pi}{2}: \cos t=0,\\ \sin t=1.
    • x=1+0=1,\\ y=1,\\ z=3-0-2=1. Ponto Q_1=(1,1,1).
    • D\big(\tfrac{\pi}{2}\big)=1+1+1=3.
Essa é uma candidata óbvia e, verificando o sinal de D' em torno, é um mínimo (pequena varredura numérica mostra que D aumenta para t próximos).
Para o máximo há uma outra raiz t\approx 4{,}318 rad (achei-a por busca numérica entre 4{,}2 e 4{,}4, refinando). Usando t\approx 4{,}318 obtenho:
  • \cos t\approx -0{,}3827,\\ \sin t\approx -0{,}9239.
  • Assim x=1+\cos t\approx 0{,}6173,\quad y\approx -0{,}9239,\quad z=3-\cos t-2\sin t\approx 5{,}2305.
  • Avaliando D: D\approx x^{2}+y^{2}+z^{2}\approx 1{,}2346 + 27{,}358 \approx 28{,}5926.Distância aproximada \sqrt{D}\approx 5{,}3456.
Conclusão do item (b):
  • ponto mais próximo (mínimo): Q_{\min}=(1,1,1) com D=3.
  • ponto mais longe (máximo): aproximadamente Q_{\max}\approx(0{,}6173,\,-0{,}9239,\,5{,}2305) com D\approx 28{,}5926.
(Comentário didático: eu escolhi parametrizar o círculo porque reduz o problema a uma função de uma variável; resolver analiticamente a equação trigonométrica resulta em uma equação complicada, aí a busca numérica é prática e aceita — em prova, dependendo do enunciado, pode-se aceitar solução numérica com justificativa.)

Passo 9

Item (c) — resolver de forma exata (muito direto usando linearidade).
Dados (peguei do enunciado):
x^{2}+y^{2}=4,\qquad x+y+z=1.
Queremos otimizar F=x^{2}+y^{2}+z^{2}. Como x^{2}+y^{2}=4 é fixo,
F=4+z^{2}=4+(1-x-y)^{2}.
Logo otimizar F é o mesmo que otimizar (1-x-y)^{2}, isto é, minimizar/maximizar |1-(x+y)| com (x,y) variando no círculo x^{2}+y^{2}=4.
O segmento de valores possíveis de L=x+y sobre o círculo é conhecido: o máximo de x+y é 2\sqrt{2} e o mínimo é -2\sqrt{2} (porque x+y é o produto escalar (x,y)\cdot(1,1), e o máximo absoluto é o produto de normas: \|(1,1)\| \cdot 2 = \sqrt{2}\cdot 2). Assim
-2\sqrt{2}\le x+y\le 2\sqrt{2}.
  • Para encontrar o mínimo de F buscamos o menor |1-(x+y)|. Como o intervalo de x+y contém o valor 1 (pois -2.828\le 1\le 2.828), existe ponto(s) com x+y=1 e então (1-x-y)=0. Portanto o mínimo de F é 4 e ocorre quando
x+y=1,\qquad x^{2}+y^{2}=4.
Resolver: y=1-x e substituir:
x^{2}+(1-x)^{2}=4 \Rightarrow 2x^{2}-2x-3=0.
Resolver:
x=\frac{1\pm\sqrt{7}}{2},\qquad y=1-x=\frac{1\mp\sqrt{7}}{2}.
E z=1-x-y=0. Logo os dois pontos mais próximos são
\Big(\tfrac{1+\sqrt7}{2},\;\tfrac{1-\sqrt7}{2},\;0\Big) \quad\text{e}\quad \Big(\tfrac{1-\sqrt7}{2},\;\tfrac{1+\sqrt7}{2},\;0\Big),
ambos com F=4 (distância 2).
  • Para o máximo de F buscamos o máximo de |1-(x+y)|. O valor absoluto máximo ocorre em x+y=-2\sqrt{2} (porque isso dá 1-(-2\sqrt{2})=1+2\sqrt{2}, que tem maior módulo que 1-2\sqrt{2}). Portanto o ponto que atinge isso é o que está na direção negativa de (1,1) sobre o círculo de raio 2: (x,y)=2\cdot(-\tfrac{1}{\sqrt2},-\tfrac{1}{\sqrt2})=(-\sqrt2,-\sqrt2). Então
z=1-x-y=1+2\sqrt2.
F_{\max}=4+(1+2\sqrt2)^{2}=4 + \big(9+4\sqrt2\big)=13+4\sqrt2.
O ponto mais afastado é
\big(-\sqrt2,\,-\sqrt2,\;1+2\sqrt2\big).

Resposta

(a) Mais próximo: \big(\tfrac12,\tfrac12,\tfrac12\big). Mais longe: (-1,-1,2).
(b) Mais próximo: (1,1,1). Mais longe (aprox.): (0{,}6173,\,-0{,}9239,\,5{,}2305).
(c) Mais próximos: \big(\tfrac{1+\sqrt7}{2},\tfrac{1-\sqrt7}{2},0\big) e \big(\tfrac{1-\sqrt7}{2},\tfrac{1+\sqrt7}{2},0\big). Mais longe: \big(-\sqrt2,-\sqrt2,\,1+2\sqrt2\big).

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