- Determine os pontos
onde a função
atinge seus extremos.
Passo 1
O enunciado dá o conjunto de pontos
e a função
. A tarefa é determinar os pontos desse conjunto onde
atinge seus extremos (mínimo e máximo).
Informações relevantes que temos:
Informações relevantes que temos:
- A equação
é uma restrição que envolve apenas e . - A equação
determina em função de e . - A função a otimizar é
.
Passo 2
Observação útil: sobre o conjunto viável vale exatamente
. Portanto, em todo ponto viável podemos substituir essa igualdade dentro de
. Assim,
Isto simplifica enormemente o problema: em vez de maximizar/minimizar
com duas restrições, basta maximizar/minimizar
sujeito à única condição geométrica que liga
e
, que é
.
Passo 3
Para entender a restrição
faça a técnica do quadrado completo:
Esta é a equação de um círculo no plano
com centro em
e raio
. Uma consequência imediata é uma descrição do intervalo possível para a coordenada
: num círculo de centro
e raio
, a coordenada
varia entre
e
, isto é,
Explicação curta do porquê: de
obtemos
, então
e daí
.
Passo 4
Como sobre o conjunto viável
, os extremos de
ocorrem exatamente quando
é extremo no intervalo
. Portanto:
-
dá . -
dá .
Passo 5
Encontrar as coordenadas completas
que correspondem a esses
extremos.
- Para
: use a equação do círculo . Substituindo ,
Então
. Agora use a equação do plano
para obter
:
Portanto o ponto correspondente é
e nele
.
- Para
: substituindo no círculo,
Então
. Usando o plano,
Portanto o ponto correspondente é
e nele
.
Passo 6
Verificação rápida (sanidade): os dois pontos
e
satisfazem ambas as restrições e produzem os valores extremos calculados. Não há outros pontos com os mesmos valores porque no círculo as abscissas extremas
e
ocorrem apenas com
.
Resposta
Mínimo:
com
Máximo:
com