1. Determine os pontos \left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} ; x^{2}+y^{2}=2 x, x+2 y+z=4\right\} onde a função f(x, y, z)=x^{2}+y^{2} atinge seus extremos.

Passo 1

O enunciado dá o conjunto de pontos \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3;\;x^{2}+y^{2}=2x,\;x+2y+z=4\} e a função \,f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}\,. A tarefa é determinar os pontos desse conjunto onde \,f\, atinge seus extremos (mínimo e máximo).
Informações relevantes que temos:
  • A equação \,x^{2}+y^{2}=2x\, é uma restrição que envolve apenas x e y.
  • A equação \,x+2y+z=4\, determina z em função de x e y.
  • A função a otimizar é \,f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}\,.

Passo 2

Observação útil: sobre o conjunto viável vale exatamente \,x^{2}+y^{2}=2x. Portanto, em todo ponto viável podemos substituir essa igualdade dentro de f. Assim,
f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}=2x\quad\text{para todo ponto do conjunto dado.}
Isto simplifica enormemente o problema: em vez de maximizar/minimizar \,x^{2}+y^{2}\, com duas restrições, basta maximizar/minimizar \,2x\, sujeito à única condição geométrica que liga x e y, que é \,x^{2}+y^{2}=2x.

Passo 3

Para entender a restrição \,x^{2}+y^{2}=2x\, faça a técnica do quadrado completo:
x^{2}-2x+y^{2}=0\quad\Longrightarrow\quad (x-1)^{2}+y^{2}=1.
Esta é a equação de um círculo no plano xy com centro em (1,0) e raio 1. Uma consequência imediata é uma descrição do intervalo possível para a coordenada x: num círculo de centro (1,0) e raio 1, a coordenada x varia entre 1-1 e 1+1, isto é,
x\in[0,2].
Explicação curta do porquê: de (x-1)^{2}+y^{2}=1 obtemos (x-1)^{2}\le 1, então -1\le x-1\le 1 e daí 0\le x\le 2.

Passo 4

Como sobre o conjunto viável \,f=2x, os extremos de f ocorrem exatamente quando x é extremo no intervalo [0,2]. Portanto:
  • x_{\min}=0 f_{\min}=2\cdot 0=0.
  • x_{\max}=2 f_{\max}=2\cdot 2=4.

Passo 5

Encontrar as coordenadas completas (x,y,z) que correspondem a esses x extremos.
  • Para x=0: use a equação do círculo (x-1)^{2}+y^{2}=1. Substituindo x=0,
(0-1)^{2}+y^{2}=1 \quad\Rightarrow\quad 1+y^{2}=1 \quad\Rightarrow\quad y=0.
Então y=0. Agora use a equação do plano \,x+2y+z=4\, para obter z:
z=4-x-2y=4-0-0=4.
Portanto o ponto correspondente é (0,0,4) e nele f=0.
  • Para x=2: substituindo no círculo,
(2-1)^{2}+y^{2}=1 \quad\Rightarrow\quad 1+y^{2}=1 \quad\Rightarrow\quad y=0.
Então y=0. Usando o plano,
z=4-x-2y=4-2-0=2.
Portanto o ponto correspondente é (2,0,2) e nele f=4.

Passo 6

Verificação rápida (sanidade): os dois pontos (0,0,4) e (2,0,2) satisfazem ambas as restrições e produzem os valores extremos calculados. Não há outros pontos com os mesmos valores porque no círculo as abscissas extremas x=0 e x=2 ocorrem apenas com y=0.

Resposta

Mínimo: (0,0,4) com f=0
Máximo: (2,0,2) com f=4

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