Determine os pontos extremos de: w=x^2+y^2+z^2 tais que 3 x-2 y-4=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar os pontos extremos da função w = x^2 + y^2 + z^2 com a restrição 3x - 2y - 4 = 0 . Aqui, vamos usar o cálculo de extremos com restrições, mais especificamente o método dos multiplicadores de Lagrange. Vamos precisar entender como aplicar esse método para resolver o problema.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar nossa função objetivo e a restrição. A função que queremos extremar é:
w = x^2 + y^2 + z^2
E a restrição é:
3x - 2y - 4 = 0
Como temos uma restrição, o método dos multiplicadores de Lagrange é uma ótima ferramenta para encontrar os pontos onde w tem extremos sob essa condição.

Passo 3

O método dos multiplicadores de Lagrange consiste em introduzir uma nova variável, chamada de multiplicador de Lagrange, que vamos chamar de lambda . A ideia é resolver o sistema de equações derivado das derivadas parciais da função de Lagrange. Nossa função de Lagrange fica:
L(x, y, z, lambda) = x^2 + y^2 + z^2 + lambda (3x - 2y - 4)
Agora, vamos calcular as derivadas parciais da L em relação a x , y , z e lambda , e igualar a zero.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas:
  1. Derivada em relação a x :
partial Lpartial x = 2x + 3lambda = 0
  1. Derivada em relação a y :
partial Lpartial y = 2y - 2lambda = 0
  1. Derivada em relação a z :
partial Lpartial z = 2z = 0
  1. Derivada em relação a lambda (que nos dá a restrição original):
3x - 2y - 4 = 0

Passo 5

Agora, vamos resolver esse sistema de equações:
  1. Da terceira equação:
2z = 0 Rightarrow z = 0
  1. Da segunda equação:
2y - 2lambda = 0 Rightarrow y = lambda
  1. Da primeira equação:
2x + 3lambda = 0 Rightarrow x = -32lambda
  1. Agora, substituímos x e y na restrição:
3(-32lambda) - 2(lambda) - 4 = 0
-92lambda - 2lambda - 4 = 0
-132lambda = 4
lambda = -813
  1. Com lambda encontrado, substituímos de volta para achar x e y :
x = -32 (-813) = 1213
y = -813
z = 0

Resposta

O ponto extremo é ( 1213, -813, 0 ) .

Exercícios relacionados