Determine os pontos extremos de:
tais que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar os pontos extremos da função
com a restrição
. Aqui, vamos usar o cálculo de extremos com restrições, mais especificamente o método dos multiplicadores de Lagrange. Vamos precisar entender como aplicar esse método para resolver o problema.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar nossa função objetivo e a restrição. A função que queremos extremar é:
E a restrição é:
Como temos uma restrição, o método dos multiplicadores de Lagrange é uma ótima ferramenta para encontrar os pontos onde
tem extremos sob essa condição.
Passo 3
O método dos multiplicadores de Lagrange consiste em introduzir uma nova variável, chamada de multiplicador de Lagrange, que vamos chamar de
. A ideia é resolver o sistema de equações derivado das derivadas parciais da função de Lagrange. Nossa função de Lagrange fica:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais da
em relação a
,
,
e
, e igualar a zero.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas:
- Derivada em relação a
:
- Derivada em relação a
:
- Derivada em relação a
:
- Derivada em relação a
(que nos dá a restrição original):
Passo 5
Agora, vamos resolver esse sistema de equações:
- Da terceira equação:
- Da segunda equação:
- Da primeira equação:
- Agora, substituímos
e na restrição:
- Com
encontrado, substituímos de volta para achar e :
Resposta
O ponto extremo é
.