Questão 5. Decida se as equações abaixo são exatas e se for resolva-a.
4 t d yd t+5 t=8 y^3 d yd t-4 y

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
4,t,dydt+5,t ;=;8,y^3,dydt-4,y
e pede para decidir se ela é exata e, em caso afirmativo, resolvê-la. O conteúdo aqui é equações diferenciais exatas.

Passo 2

Vamos escrever tudo na forma
M(t,y),dt ;+;N(t,y),dy ;=;0
Partimos de
4,t,dydt-8,y^3,dydt=-5,t-4,y
e multiplicamos por dt, ficando
(5,t+4,y),dt+(4,t-8,y^3),dy=0
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M(t,y)=5,t+4,y, N(t,y)=4,t-8,y^3

Passo 3

Verificamos a condição de exatidão:
partial Mpartial y=4, partial Npartial t=4,
portanto partial M/partial y=partial N/partial t e a equação é exata.

Passo 4

Procuramos uma função potencial f(t,y) tal que
partial fpartial t=M(t,y) e partial fpartial y=N(t,y)
Integramos partial f/partial t=5,t+4,y em t:
f(t,y)=integral(5,t+4,y),dt =52t^2+4,y,t+h(y)
Agora impomos partial f/partial y=N:
partial fpartial y=4,t+h'(y) =4,t-8,y^3 Longrightarrow h'(y)=-8,y^3
e então
h(y)=integral(-8,y^3),dy=-2,y^4
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f(t,y)=52t^2+4,y,t-2,y^4

Resposta

A solução geral, em forma implícita, é
52t^2+4,y,t-2,y^4=C,
onde C é constante de integração.

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