Questão 5. Decida se as equações abaixo são exatas e se for resolva-a.
(3 y+7) d yd t=(2 t-1)

Passo 1

O enunciado apresenta a equação diferencial de primeira ordem
(3y+7),dydt = 2t - 1
e pede para verificar se ela é exata e, em caso afirmativo, resolvê-la. O conteúdo aqui é identificar uma forma diferencial exata e usar a função potencial.

Passo 2

Reescrevemos a equação na forma
-(2t-1),dt + (3y+7),dy = 0
de modo a identificar
M(t,y) = -(2t-1), N(t,y) = 3y+7

Passo 3

Verificamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y = 0, partial Npartial t = 0
Como partial M/partial y = partial N/partial t, a forma é exata.

Passo 4

Procuramos uma função potencial phi(t,y) tal que
partial phipartial t = M(t,y) e partial phipartial y = N(t,y)
Integrando em relação a t:
phi(t,y) = integral -(2t-1),dt + h(y) = -t^2 + t + h(y)
Agora impomos partial phi/partial y = 3y+7, ou seja
h'(y) = 3y + 7 Longrightarrow h(y) = 32y^2 + 7y
Logo
phi(t,y) = -t^2 + t + 32y^2 + 7y

Passo 5

A solução geral vem de phi(t,y)=C. Em forma implícita:
-;t^2 + t + 32y^2 + 7y = C

Resposta

-;t^2 + t + 32y^2 + 7y = C,
que é a solução geral da equação exata.

Exercícios relacionados