Questão 5. Decida se as equações abaixo são exatas e se for resolva-a.
(2 t^2 y+4) d yd t=3-2 t y^2

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a equação diferencial
(2t^2y + 4),dydt ;=;3 - 2t,y^2
é exata e, em caso afirmativo, encontrar sua solução geral. O conteúdo é de equações diferenciais exatas: precisamos escrever a equação na forma
M(t,y),dt + N(t,y),dy = 0
e verificar se partial M/partial y = partial N/partial t.

Passo 2

Reescrevendo em forma diferencial: movemos tudo para o lado esquerdo
(3 - 2t,y^2),dt - (2t^2 y + 4),dy = 0
Convenientemente definimos
M(t,y) = 2t,y^2 - 3, N(t,y) = 2t^2,y + 4,
de modo que a equação fica
M(t,y),dt + N(t,y),dy = 0

Passo 3

Verificamos a condição de exatidão:
partial Mpartial y = partialpartial y(2t,y^2 - 3) = 4t,y, partial Npartial t = partialpartial t(2t^2,y + 4) = 4t,y
Como partial M/partial y = partial N/partial t, a equação é exata.

Passo 4

Existe então uma função potencial phi(t,y) tal que
phit = M e phiy = N. Integramos M em relação a t:
phi(t,y) = integral (2t,y^2 - 3),dt = t^2,y^2 - 3t + h(y),
onde h(y) é função a determinar.

Passo 5

Para achar h(y), usamos
phiy = partialpartial yl(t^2,y^2 - 3t + h(y)r) = 2t^2,y + h'(y)
que deve ser igual a N(t,y)=2t^2,y+4. Logo
h'(y) = 4 Longrightarrow h(y) = 4y
Assim
phi(t,y) = t^2,y^2 - 3t + 4y

Resposta

A solução geral implícita é
t^2,y^2 - 3t + 4y = C,
onde C é constante arbitrária.

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