Questão 5. Decida se as equações abaixo são exatas e se for resolva-a.
Passo 1
O enunciado pede para decidir se a equação diferencial
é exata e, em caso afirmativo, encontrar sua solução geral. O conteúdo é de equações diferenciais exatas: precisamos escrever a equação na forma
e verificar se
.
Passo 2
Reescrevendo em forma diferencial: movemos tudo para o lado esquerdo
Convenientemente definimos
de modo que a equação fica
Passo 3
Verificamos a condição de exatidão:
Como
, a equação é exata.
Passo 4
Existe então uma função potencial
tal que
e
. Integramos
em relação a
:
onde
é função a determinar.
Passo 5
Para achar
, usamos
que deve ser igual a
. Logo
Assim
Resposta
A solução geral implícita é
onde
é constante arbitrária.