Questão 4. Ache a solução do PVI dado.
d yd t=y^2-1t^2-1, y(2)=2

Passo 1

O enunciado pede a solução do problema de valor inicial
dydt = y^2 - 1t^2 - 1, y(2)=2
É uma equação diferencial de primeira ordem e variáveis separáveis.

Passo 2

Separe as variáveis y e t escrevendo
1y^2 - 1,dy = 1t^2 - 1,dt

Passo 3

Integre ambos os lados:
integral dyy^2 - 1 = integral dtt^2 - 1
Usando frações parciais,
1y^2 - 1 = tfrac12l(1y-1 - 1y+1r),
obtemos
12lnl|y-1y+1r| = 12lnl|t-1t+1r| + C

Passo 4

Multiplique tudo por 2 e exponencie, definindo uma constante K=e^2C:
lnl|y-1y+1r| = lnl(K,t-1t+1r) Longrightarrow y-1y+1 = K,t-1t+1
Use a condição y(2)=2:
2-12+1 = 13 e 2-12+1 = 13 ;Longrightarrow;K=1

Passo 5

Com K=1, equacione
y-1y+1 = t-1t+1
Expandindo e simplificando, chega-se a
y = t

Resposta

y(t) = t

Exercícios relacionados