(5) (2,0 pontos) Sabendo-se que o problema de valor inicial que descreve um sistema massamola é dado por
(a) Encontre a solução geral da equação diferencial e resolva o problema de valor inicial. Determine a amplitude e o período.
Passo 1
O enunciado apresenta o problema de valor inicial
Esse é um caso de equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Precisamos (i) encontrar a solução geral via equação característica, (ii) aplicar as condições iniciais para achar a solução específica e (iii) determinar a amplitude e o período da oscilação.
Passo 2
Formamos a equação característica associada:
Suas raízes são
Logo, a solução geral é
Passo 3
Calculamos
e
a partir das condições iniciais. Em
:
A derivada é
de onde
Passo 4
Com
e
, a solução do problema de valor inicial é
Como é um cosseno puro, a amplitude — máxima deslocamento em módulo — é
Passo 5
O período
de uma oscilação para uma função
é
Aqui
, logo