(5) (2,0 pontos) Sabendo-se que o problema de valor inicial que descreve um sistema massamola é dado por
y^prime prime+5 y=0, y(0)=1, y^prime(0)=0
(a) Encontre a solução geral da equação diferencial e resolva o problema de valor inicial. Determine a amplitude e o período.

Passo 1

O enunciado apresenta o problema de valor inicial
y'' + 5y = 0, y(0)=1, y'(0)=0
Esse é um caso de equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Precisamos (i) encontrar a solução geral via equação característica, (ii) aplicar as condições iniciais para achar a solução específica e (iii) determinar a amplitude e o período da oscilação.

Passo 2

Formamos a equação característica associada:
r^2 + 5 = 0
Suas raízes são
r = pm iraiz5
Logo, a solução geral é
y(t) = C1cosl(raiz5,tr) + C2sinl(raiz5,tr)

Passo 3

Calculamos C1 e C2 a partir das condições iniciais. Em t=0:
y(0) = C1 = 1
A derivada é
y'(t) = -C1raiz5,sinl(raiz5,tr) + C2raiz5,cosl(raiz5,tr),
de onde
y'(0) = C2raiz5 = 0 Longrightarrow C2 = 0

Passo 4

Com C1=1 e C2=0, a solução do problema de valor inicial é
y(t) = cosl(raiz5,tr)
Como é um cosseno puro, a amplitude — máxima deslocamento em módulo — é
Amplitude = 1

Passo 5

O período T de uma oscilação para uma função cos(omega t) é
T = 2piomega
Aqui omega = raiz5, logo
T = 2piraiz5

Resposta

y(t) = cosl(raiz5,tr)\nAmplitude: 1\nPeríodo: T = 2piraiz5

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