A questão a seguir pede para classificar cada equação dentre as seguintes opções: Hiperboloide de uma folha, Elipsoide ou Hiperboloide de duas folhas.

Classifique as superficies a seguir

\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1
Escolher…
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1
Escolher…
-\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1 \quad Escolher…
-\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1 Escolher…
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1
Escolher…
-\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1 Escolher…
\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1
Escolher…

Passo 1

O enunciado pede para classificar cada superfície definida por \displaystyle \frac{\pm x^{2}}{a^{2}} \;+\;\frac{\pm y^{2}}{b^{2}} \;+\;\frac{\pm z^{2}}{c^{2}}=1
nas categorias: elipsoide, hiperboloide de uma folha ou hiperboloide de duas folhas. Vamos usar o critério de sinais dos termos quadráticos.

Passo 2

O critério de classificação é:
  • Se todos os três coeficientes são positivos, temos um elipsoide.
  • Se exatamente um coeficiente é negativo (ou seja, dois positivos e um negativo), temos um hiperboloide de uma folha.
  • Se exatamente dois coeficientes são negativos (ou seja, um positivo e dois negativos), temos um hiperboloide de duas folhas.

Passo 3

Para \displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1 há dois coeficientes positivos x^{2},z^{2} e um negativo y^{2}, logo é hiperboloide de uma folha.

Passo 4

Para \displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1 há dois coeficientes positivos x^{2},y^{2} e um negativo z^{2}, logo é hiperboloide de uma folha.

Passo 5

Para \displaystyle -\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1 há um coeficiente positivo y^{2} e dois negativos x^{2},z^{2}, logo é hiperboloide de duas folhas.

Passo 6

Para \displaystyle -\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1 há dois coeficientes positivos y^{2},z^{2} e um negativo x^{2}, logo é hiperboloide de uma folha.

Passo 7

Para \displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1 todos os três coeficientes são positivos, logo é elipsoide.

Passo 8

Para \displaystyle -\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1 há um coeficiente positivo z^{2} e dois negativos x^{2},y^{2}, logo é hiperboloide de duas folhas.

Passo 9

Para \displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1 há um coeficiente positivo x^{2} e dois negativos y^{2},z^{2}, logo é hiperboloide de duas folhas.

Resposta

\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1 – hiperboloide de uma folha \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1 – hiperboloide de uma folha -\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1 – hiperboloide de duas folhas -\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1 – hiperboloide de uma folha \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1 – elipsoide -\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1 – hiperboloide de duas folhas \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1 – hiperboloide de duas folhas

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