Exercício 1. Teste a convergência ou a divergência das séries.
sumn=1^infty 2n raizln n

Passo 1

Resumo do problema e conteúdo
Temos a série
sumn=1^infty2nraizln n
e queremos descobrir se ela converge ou diverge.
O assunto aqui é Séries Infinitas (mais precisamente o Teste da Integral) e vamos precisar de duas coisas:
  1. Entender o enunciado do Teste da Integral.
  2. Saber fazer uma integração por substituição.

Passo 2

Apresentando o Teste da Integral
O Teste da Integral diz o seguinte:
– Se f(x) é contínua, positiva e decrescente para x>= a, então
sumn=a^inftyf(n)
e
integrala^inftyf(x),dx
têm o mesmo comportamento (ou ambas convergem, ou ambas divergem).
Aqui definimos
f(x)=2xraizln x,, x>=2
Porque em n=1 temos ln1=0 e não faz sentido dividir por zero, a gente começa em n=2.
f(x)>0 para x>1 (já que ln x>0).
f é contínua em [2,infty).
f é decrescente porque, à medida que x aumenta, o denominador xraizln x só cresce, fazendo f(x) diminuir.
Portanto, podemos aplicar o Teste da Integral.

Passo 3

Calculando a integral impropria
Vamos estudar
integral2^infty2xraizln x,dx
Fazemos a substituição
t=ln xRightarrow dt=dxx
Então
integral2^infty2xraizln x,dx =2integralln2^inftyt^-tfrac12,dt =2l[2raiztr]ln2^infty =4l(limTtoinftyraizT-raizln2r)
Como limTtoinftyraizT=infty, a integral diverge.

Passo 4

Conclusão pelo Teste da Integral
Como a integral
integral2^infty2xraizln x,dx
diverge, pelo Teste da Integral a série
sumn=2^infty2nraizln n
também diverge.

Resposta

A série sumn=1^infty2nraizln n diverge.

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