Exercício 1. Teste a convergência ou a divergência das séries.
Passo 1
Resumo do problema e conteúdo
Temos a série
Temos a série
e queremos descobrir se ela converge ou diverge.
O assunto aqui é Séries Infinitas (mais precisamente o Teste da Integral) e vamos precisar de duas coisas:
O assunto aqui é Séries Infinitas (mais precisamente o Teste da Integral) e vamos precisar de duas coisas:
- Entender o enunciado do Teste da Integral.
- Saber fazer uma integração por substituição.
Passo 2
Apresentando o Teste da Integral
O Teste da Integral diz o seguinte:
– Se é contínua, positiva e decrescente para
, então
O Teste da Integral diz o seguinte:
– Se
e
têm o mesmo comportamento (ou ambas convergem, ou ambas divergem).
Aqui definimos
Aqui definimos
Porque em
temos
e não faz sentido dividir por zero, a gente começa em
.
– para
(já que
).
– é contínua em
.
– é decrescente porque, à medida que
aumenta, o denominador
só cresce, fazendo
diminuir.
Portanto, podemos aplicar o Teste da Integral.
–
–
–
Portanto, podemos aplicar o Teste da Integral.
Passo 3
Calculando a integral impropria
Vamos estudar
Vamos estudar
Fazemos a substituição
Então
Como
, a integral diverge.
Passo 4
Conclusão pelo Teste da Integral
Como a integral
diverge, pelo Teste da Integral a série
também diverge.
Como a integral
diverge, pelo Teste da Integral a série
também diverge.
Resposta
A série
diverge.