Resolva por duas vias: sem usar método de Lagrange e usando este,
Volume máximo da caixa retangular inscrita no elipsoide
.
Volume máximo da caixa retangular inscrita no elipsoide
Passo 1
O enunciado pede: encontrar o volume máximo de uma caixa retangular inscrita no elipsoide
.
Informações dadas e o que vamos usar (tudo retirado do enunciado):
Informações dadas e o que vamos usar (tudo retirado do enunciado):
- A superfície do elipsoide é
. - A caixa é retangular, com faces paralelas aos planos coordenados, centrada na origem (posição natural para “inscrita” neste problema).
- Se
forem as semi-dimensões positivas da caixa ao longo dos eixos respectivamente, então um vértice da caixa está em e deve satisfazer a equação do elipsoide: - O volume da caixa, em função de
, é
A tarefa: maximizar
sujeita à restrição acima.
Passo 2
Observação importante sobre simetria e domínio de busca (essa é uma ideia prática para reduzir trabalho):
- Pelo formato do elipsoide e da caixa, se existir uma caixa ótima haverá uma com
(podemos olhar apenas para o primeiro octante e multiplicar por como já fizemos no ). Assim procuramos que maximizem sob a restrição. - O conjunto definido pela restrição é compacto e
é contínua, logo existe máximo global; qualquer extremo interior que encontrarmos e que seja único será o máximo.
Agora vou resolver por duas vias: (I) sem Lagrange (eliminação e cálculo), (II) com multiplicadores de Lagrange. Em ambas chegaremos ao mesmo resultado.
Passo 3
(Via I — sem Lagrange) Eliminação de variável e redução para um problema de duas variáveis:
- Da restrição temos, para
dados, - Substituindo no volume:
- Para simplificar a diferenciação evito a raiz e considero
Maximizar é equivalente a maximizar (já que ).
Passo 4
(Via I — continuar) Encontrar os pontos críticos de
:
- Calculo as derivadas parciais (mostro o raciocínio de forma simples e usando simetria):
(estas expressões vêm da regra do produto; para não alongar demais a álgebra, pode-se verificar passo a passo aplicando derivada em .) - Para um extremo interior (com
) podemos dividir por e obter o sistema - Pela simetria do problema (trocar
por não altera ) existe uma solução crítica com . (Intuição: se uma solução interior for única, ela deve respeitar a simetria; ou alternativamente o sistema acima pode ser manipulado para mostrar que é uma possibilidade não-trivial.) - Colocando
na restrição: - Agora
em termos de apenas: - Para maximizar, novamente trabalho com
: - Derivo
e igualo a zero: Como queremos , temos Assim - Então
. Calculamos pela restrição: logo - Volume máximo:
Passo 5
(Via II — multiplicadores de Lagrange) Apresentação do método e aplicação:
- Ideia rápida do método: para maximizar
sujeito a , soluções internas satisfazem , ou seja as direções de maior variação de e de são proporcionais. Aqui - Calculo os gradientes:
- Igualando
obtém-se o sistema Simplificando: - Das primeiras duas equações, se
pode-se dividir e concluir (ouveria o caso trivial que dá , descartado). Com as equações dão e a terceira equação fica Assim . - Substituindo
e na restrição: e novamente - Portanto o volume máximo é o mesmo encontrado antes:
Passo 6
Verificação qualitativa e interpretação:
- O conjunto de admissíveis é compacto e
é contínua, logo a solução encontrada é o máximo global; o caso dá mínimo (volume zero). - Dimensões da caixa ótima (comprimentos das arestas) são
- Resultado final concorda nas duas metodologias, o que reforça a correção.