Resolva por duas vias: sem usar método de Lagrange e usando este,
Volume máximo da caixa retangular inscrita no elipsoide 4 x^{2}+4 y^{2}+z^{2}=16.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar o volume máximo de uma caixa retangular inscrita no elipsoide \;4x^{2}+4y^{2}+z^{2}=16\;.
Informações dadas e o que vamos usar (tudo retirado do enunciado):
  • A superfície do elipsoide é \;4x^{2}+4y^{2}+z^{2}=16\;.
  • A caixa é retangular, com faces paralelas aos planos coordenados, centrada na origem (posição natural para “inscrita” neste problema).
  • Se a,b,c forem as semi-dimensões positivas da caixa ao longo dos eixos x,y,z respectivamente, então um vértice da caixa está em (a,b,c) e deve satisfazer a equação do elipsoide: 4a^{2}+4b^{2}+c^{2}=16.
  • O volume da caixa, em função de a,b,c, é V = 2a\cdot 2b\cdot 2c = 8abc.
A tarefa: maximizar V sujeita à restrição acima.

Passo 2

Observação importante sobre simetria e domínio de busca (essa é uma ideia prática para reduzir trabalho):
  • Pelo formato do elipsoide e da caixa, se existir uma caixa ótima haverá uma com a,b,c\ge 0 (podemos olhar apenas para o primeiro octante e multiplicar por 8 como já fizemos no V=8abc). Assim procuramos a>0,b>0,c>0 que maximizem V sob a restrição.
  • O conjunto definido pela restrição é compacto e V é contínua, logo existe máximo global; qualquer extremo interior que encontrarmos e que seja único será o máximo.
Agora vou resolver por duas vias: (I) sem Lagrange (eliminação e cálculo), (II) com multiplicadores de Lagrange. Em ambas chegaremos ao mesmo resultado.

Passo 3

(Via I — sem Lagrange) Eliminação de variável e redução para um problema de duas variáveis:
  • Da restrição temos, para a,b dados, c=\sqrt{\,16-4a^{2}-4b^{2}\,}\qquad\text{(escolhemos o sinal positivo porque \(c\ge0\)).}
  • Substituindo no volume: V(a,b)=8ab\sqrt{\,16-4a^{2}-4b^{2}\,}.
  • Para simplificar a diferenciação evito a raiz e considero W(a,b)=V(a,b)^{2}=64\,a^{2}b^{2}\bigl(16-4a^{2}-4b^{2}\bigr).Maximizar W é equivalente a maximizar V (já que V\ge0).

Passo 4

(Via I — continuar) Encontrar os pontos críticos de W:
  • Calculo as derivadas parciais (mostro o raciocínio de forma simples e usando simetria): \frac{\partial W}{\partial a}=128\,a b^{2}\bigl(16-8a^{2}-4b^{2}\bigr), \qquad \frac{\partial W}{\partial b}=128\,b a^{2}\bigl(16-8b^{2}-4a^{2}\bigr).(estas expressões vêm da regra do produto; para não alongar demais a álgebra, pode-se verificar passo a passo aplicando derivada em a^{2}b^{2}(16-4a^{2}-4b^{2}).)
  • Para um extremo interior (com a>0,b>0) podemos dividir por 128ab e obter o sistema b\bigl(16-8a^{2}-4b^{2}\bigr)=a\bigl(16-8b^{2}-4a^{2}\bigr).
  • Pela simetria do problema (trocar a por b não altera W) existe uma solução crítica com a=b. (Intuição: se uma solução interior for única, ela deve respeitar a simetria; ou alternativamente o sistema acima pode ser manipulado para mostrar que a=b é uma possibilidade não-trivial.)
  • Colocando a=b na restrição: 4a^{2}+4a^{2}+c^{2}=16 \quad\Rightarrow\quad 8a^{2}+c^{2}=16.
  • Agora V em termos de a apenas: V(a)=8a^{2}c=8a^{2}\sqrt{16-8a^{2}}.
  • Para maximizar, novamente trabalho com V^{2}: S(a)=V(a)^{2}=64a^{4}(16-8a^{2})=1024a^{4}-512a^{6}.
  • Derivo S e igualo a zero: S'(a)=4096a^{3}-3072a^{5}=a^{3}(4096-3072a^{2})=0.Como queremos a>0, temos 4096-3072a^{2}=0 \quad\Rightarrow\quad a^{2}=\frac{4096}{3072}=\frac{4}{3}.Assim a=\frac{2}{\sqrt{3}}.
  • Então b=a=\dfrac{2}{\sqrt{3}}. Calculamos c pela restrição: c^{2}=16-8a^{2}=16-8\cdot\frac{4}{3}=16-\frac{32}{3}=\frac{16}{3},logo c=\frac{4}{\sqrt{3}}.
  • Volume máximo: V_{\max}=8a b c = 8\cdot\frac{2}{\sqrt{3}}\cdot\frac{2}{\sqrt{3}}\cdot\frac{4}{\sqrt{3}} =8\cdot\frac{4}{3}\cdot\frac{4}{\sqrt{3}} =\frac{128}{3\sqrt{3}} =\frac{128\sqrt{3}}{9}.

Passo 5

(Via II — multiplicadores de Lagrange) Apresentação do método e aplicação:
  • Ideia rápida do método: para maximizar f(a,b,c) sujeito a g(a,b,c)=0, soluções internas satisfazem \nabla f=\lambda\nabla g, ou seja as direções de maior variação de f e de g são proporcionais. Aqui f(a,b,c)=V(a,b,c)=8abc,\qquad g(a,b,c)=4a^{2}+4b^{2}+c^{2}-16.
  • Calculo os gradientes: \nabla f=(8bc,\;8ac,\;8ab),\qquad \nabla g=(8a,\;8b,\;2c).
  • Igualando \nabla f=\lambda\nabla g obtém-se o sistema 8bc=\lambda 8a,\qquad 8ac=\lambda 8b,\qquad 8ab=\lambda 2c.Simplificando: bc=\lambda a,\qquad ac=\lambda b,\qquad 4ab=\lambda c.
  • Das primeiras duas equações, se a,b,c>0 pode-se dividir e concluir a=b (ouveria o caso trivial a=b=0 que dá V=0, descartado). Com a=b as equações dão \lambda=c e a terceira equação fica 4a^{2}=\lambda c = c^{2}.Assim c=2a.
  • Substituindo a=b e c=2a na restrição: 4a^{2}+4a^{2}+(2a)^{2}=16 \quad\Rightarrow\quad 12a^{2}=16 \quad\Rightarrow\quad a^{2}=\frac{4}{3},e novamente a=\frac{2}{\sqrt{3}},\quad b=\frac{2}{\sqrt{3}},\quad c=\frac{4}{\sqrt{3}}.
  • Portanto o volume máximo é o mesmo encontrado antes: V_{\max}=\frac{128\sqrt{3}}{9}.

Passo 6

Verificação qualitativa e interpretação:
  • O conjunto de admissíveis é compacto e V é contínua, logo a solução encontrada é o máximo global; o caso a=b=c=0 dá mínimo (volume zero).
  • Dimensões da caixa ótima (comprimentos das arestas) são 2a=2b=\frac{4}{\sqrt{3}},\qquad 2c=\frac{8}{\sqrt{3}}.
  • Resultado final concorda nas duas metodologias, o que reforça a correção.

Resposta

\displaystyle \frac{128\sqrt{3}}{9}

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