Questão 8. Calcule \iiint_{D} x d x d y d z, em que D é o conjunto de todos (x, y, z) tais que
0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq x \text { e } 0 \leq z \leq x+y

Passo 1

O enunciado pede o valor de
\iiint_{D} x \,dx\,dy\,dz
onde D é o conjunto dos pontos (x,y,z) tais que
0 \le x \le 1,\quad 0 \le y \le x,\quad 0 \le z \le x+y.
O conteúdo aqui é cálculo de integral tripla em coordenadas cartesianas. Como os limites de integração já estão dados em função de x, y e z, vamos usar o teorema de Fubini e integrar na ordem z, depois y e por fim x.

Passo 2

Primeiro, integramos em relação a z, tratando x e y como constantes:
\int_{z=0}^{x+y} x\,dz = x\bigl[z\bigr]_{0}^{x+y} = x\,(x+y).

Passo 3

Agora, integramos o resultado em relação a y, de 0 a x:
\int_{y=0}^{x} x\,(x+y)\,dy = x \int_{0}^{x}(x+y)\,dy = x\Bigl[x\,y + \tfrac{y^2}{2}\Bigr]_{0}^{x} = x\Bigl(x^2 + \tfrac{x^2}{2}\Bigr) = \tfrac{3}{2}\,x^3.

Passo 4

Por fim, integramos em relação a x, de 0 a 1:
\int_{x=0}^{1} \tfrac{3}{2}\,x^3 \,dx = \tfrac{3}{2}\,\Bigl[\tfrac{x^4}{4}\Bigr]_{0}^{1} = \tfrac{3}{2}\cdot \tfrac{1}{4} = \tfrac{3}{8}.

Resposta

\displaystyle \tfrac{3}{8}

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